【正文】 （ dq/ d X） f均是對應(yīng)于垂足緯度 Bf的數(shù)值。 反算公式的 推導(dǎo)方法和正算公式相類似，它的基本思想是，首先根據(jù) x 計(jì)算縱坐標(biāo)在橢球面上的投影的垂足緯度 Bf,接著按 Bf計(jì)算（ BfB）及經(jīng)差 l，最后得到 B=Bf（ BfB） L=L0+l （ 12） 為了簡化差值（ BfB）及 l的計(jì)算公式的推導(dǎo)，我們還是借助于等量緯度 q。欲要換算精確至 m 的坐標(biāo)公式，可將上式繼續(xù)擴(kuò)充，現(xiàn)直接寫出如下： x=X+N/2ρ″ 2* sinBcosB l″ 2+ N/24ρ″ 4sinBcos3B(5 t2+9η 2+4η 4) *l″ 4+ N/720ρ″ 6* sinBcos5B（ 61 58t2+ t4） l″ 6 （ 10） 測量 控制網(wǎng)平差系統(tǒng) 設(shè)計(jì) 14 y= N/ρ″ cosB l″ + N/6ρ″ 3cos3B(1 t2+η 2) l″ 3+ N/120ρ″5cos5B(5 18t2+ t4+14η 258η 2 t2) l″ 5 （ 9），（ 10） 兩式即為高斯投影坐標(biāo)正算公式，他們就是式中的 F1和 F2的具體形式。時(shí)，公式換算的 精度為177。 由第二條件可知，位于中央子午線上的點(diǎn)，投影后的縱坐標(biāo) x應(yīng)該等于投影前從赤道量至該點(diǎn)的子午線弧長，即在 （ 1） 第一式中，當(dāng) l=0 時(shí)， x=m0=X （ 4） 式中 X 為自赤道量起的子午線弧長。 由第三個(gè)條件： ,//// qylxqxly ??????????? 和將式 （ 1） 分別對 l和 q求偏導(dǎo)數(shù)代入，得 測量 控制網(wǎng)平差系統(tǒng) 設(shè)計(jì) 12 m1+3m3l2+5m5l4+?? =dm0/dq+dm2/dq*l2+dm4/dq*l4+?? 2m2l+4m4l3+?? =dm1/dq*ldm/dq*l3?? （ 2） 為使上面兩式兩邊相等，其必要而充實(shí)的條件是 l的同次冪的系數(shù)相等，因而有 m1=dm0/dq m2=1/2dm1/dq （ 3） m3=1/3dm2/dq 為要最終的求出待定系數(shù)??，顯示矛盾的焦點(diǎn)在于求得導(dǎo)數(shù) dm0/dq。這就是說，在所求的投影公式中，當(dāng) B=常數(shù)， l以 l代替時(shí)， x 值不變號(hào)，而 y值則變號(hào)。 由第一個(gè)條件可知，由于地球橢球體是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，所以高斯投影必然有這樣一個(gè)性質(zhì)，即中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對稱于中央子午線。關(guān)系式分兩類：第一類稱高斯投影正算公式，亦即由 L， B 求 x,y；第二類稱高 斯投影反算公式，亦即由 x,y 求 L， B。 矩陣的其它計(jì)算比較簡單，在這里不再說明。 測量 控制網(wǎng)平差系統(tǒng) 設(shè)計(jì) 11 矩陣的行列式值也是用全選主元高斯－約當(dāng)（ GaussJordan）消去法。1,1,0, e) kjiniaaa ijkkik ???????? ,。 b) kkaa?/1 c) kjinjiaaa jkkkj ??????? ,。 首先，對于 k 從 0 到 n1 作如下幾步： a) 從第 k 行、第 k 列開始的右下角子陣中選取絕對值最大的元素，并記住此元素所在的行列號(hào)，再通過行交換和列交換將它交換到主元素位置上。解之，得 WNx bb 1^ ?? （ 9） 或 ^x =(BTPB)1BTPl (10) 將解出的 ^x 代入誤差方程 (6)，即可求得改正數(shù) V, 從而平差結(jié)果為： 測量 控制網(wǎng)平差系統(tǒng) 設(shè)計(jì) 10 VLL ??^ ， ^0^ xXX ?? 特別地，當(dāng) P 為對稱陣時(shí)，即觀測值間互獨(dú)立，則法方程 (8)的純量形式為 ? ? ? ? ? ? ? ?palxpatxpabxpaa t ???? ^2^1^ ... ? ? ? ? ? ? ? ?pblxpbtxpbbxpab t ???? ^2^1^ ... ……………………………………….. ? ? ? ? ? ? ? ?p tlxp ttxpbtxpat t ???? ^2^1^ ... 按間接平差法求平差值得計(jì)算步驟 （ 1） .根據(jù)平差問題的性質(zhì)，選擇 t 個(gè)獨(dú)立量作為參數(shù)； （ 2） .將每一個(gè)觀測量的平差值分別表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，若函數(shù)非線性要將其現(xiàn)性化，列出誤差方程； （ 3） .由誤差方程系數(shù) B 和自由項(xiàng) l 組成法方程，法方程個(gè)數(shù)等于參數(shù)的個(gè)數(shù) t； （ 4） . 解算法方程，求出參數(shù) ^x ，計(jì)算參數(shù)的平差值 ^0^ xXX ?? ； （ 5） .由誤差方程計(jì)算，求出觀測量平差值 VLL ??^ 高斯約當(dāng)法 矩陣求逆采用全選主元高斯－約當(dāng)（ GaussJordan）消去法。按具體平差問題，可列 n 個(gè)平差值方程為： ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????iinnnnnnvLdXtXbXavLdXtXbXavLdXtXbXa2122222212111t12111 (i=1,2,?， n) 令： 測量 控制網(wǎng)平差系統(tǒng) 設(shè)計(jì) 9 ? ?Tnn LLLL ...211, ? Ttt XXXX ???????^^2^1^1, ... ? ?Tnn vvvV ...211, ? ? ?Tnn dddd ...211, ? ?????????????nnntntbatbatbaB.....................222111, 則平差值方程的矩陣形式為 dXBVL ??? ^ （ 4） 令 ^0^ xXX ?? )( 01, dBXLln ??? （ 5） 式中 X0為參數(shù)的充分近似值，于是得誤差方程為： lxBV ?? ^ （ 6） 按最小二乘原理，上式的 ^x 必須滿足 VTPV=min 的要求，因?yàn)閭€(gè)參數(shù)為獨(dú)立量，故可按數(shù)學(xué)上求函數(shù)自由極值的方法，得 0/*2/ ^^ ??????? PBVxVPVxPVV TTT 轉(zhuǎn)置后得 BTPV=0 （ 7） 以上所得的 (6)和 (7)式中的待求量是 n 個(gè) V和 t 個(gè) ^x ，而方程個(gè)數(shù)也是 n+t 個(gè)，有唯一解，稱此兩式為間接平差的基礎(chǔ)方程。下面導(dǎo)出間接平差的計(jì)算公式。 間接平差函數(shù)模型： 1,1,1, nttnn lXB ??? （ 1） 間接平差隨機(jī)模型： nnnnnn PQD , 120,20, ??? ?? （ 2） 用參數(shù)的估值 ^X 和Δ的估值 V代入，可以寫成： 1,1,1, nttnn lXBV ??? （ 3） 表達(dá)了參數(shù)估值 ^X 與觀測值改正數(shù) V之間的函數(shù)關(guān)系，稱為誤差方程。所以，不存在角度閉合差、坐標(biāo)增量閉合差的計(jì)算與調(diào)整的問題。 D23= D0/sinb″ 1*sina″ 1 測量 控制網(wǎng)平差系統(tǒng) 設(shè)計(jì) 8 D13= D0/sinb″ 1*sinc″ 1 5. 各三角形坐標(biāo)推算 各三角點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算可根據(jù)坐標(biāo)起算數(shù)據(jù)、第二次調(diào)整后的各三角形內(nèi)角及推算出的邊長，按照閉合導(dǎo)線 1—— 2—— 4—— 6—— 7—— 5—— 3—— 1 計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)。 2. 基線閉合差的計(jì)算與調(diào)整 根據(jù)起始基線邊長 D0及經(jīng)過第一次角度閉合差平差后的各傳距角 ai、 bi，應(yīng)用測量 控制網(wǎng)平差系統(tǒng) 設(shè)計(jì) 7 正弦定律即可推算出傳距邊的長度， D1=D0sina1/sinb1 D2=D1sina ′ 2/sinb ′ 2=D0sina ′ 1*sina ′ 2/sinb ′ 1*sinb ′2=D0?? ?21 1sini a/?? ?21 1sini b ………. Dn= D0sina′ 1*sina′ 2… sina′ n/sinb′ 1*sinb′ 2… sinb′ n= D0?? ?ni ia1 sin/?? ?ni ib1 sin W 基 =（ 1Dn?? ?ni ib1 sin/ D0?? ?ni ia1 sin）ρ″ 基線閉合差的允許值為 W 基允 =2mβ ?? ???ni ibia122 )c o t( c o t 式中 mβ —— 相應(yīng)等級規(guī)定的測角中誤差 所以： Vai =Vbi= W 基 / )c o t( c o t 221 ibiani ????? 經(jīng)過第二次角度閉合差調(diào)整后的各三角形內(nèi)角為 a″ i=a′ i+ Vai b″ i=b′ i+ Vbi c″ i=c′ i 調(diào)整后 a″ i+ b″ i+ c″ i=180176?！獭?fi*fi/3n 若 f i 小于限差要求，則將其反符號(hào)平均分配給各內(nèi)角觀測值，并計(jì)算出第一次改正后的各內(nèi)角角值： a′ i =aifi/3 b′ i =bifi/3 c′ i =cifi/3 經(jīng)過第一次角度閉合差調(diào)整后的各三角形，其內(nèi)角和應(yīng)等于 180176。 式中 i=1， 2， ...n。但是由于所測水平角存在著不可避免的誤差，使得各三角形內(nèi)角和不等于 180176。 Δ xij=fx/∑ D*Dij Δ yij=fy/∑ D*Dij 式中 δ xij、δ yij —— 導(dǎo)線點(diǎn) i 到 j 的縱、橫坐標(biāo)增量改正數(shù) 。 坐標(biāo)增量閉合差 fx、 fy 的調(diào)整方法是按照與導(dǎo)線邊長成正比例的原則，反符號(hào)分配到各坐標(biāo)增量中。各種等級的導(dǎo)線測量對 K 值的限差要求不同。在導(dǎo)線測量中，用 fD與導(dǎo)線邊全長之比 fD/∑D 來衡量測量的精度。兩點(diǎn)之間的距離可用下式計(jì)算： fD=√ f2x+f2y fD 稱為導(dǎo)線全長絕對閉合差。即∑ X 理 =0，∑ Y 理 =0， 因?yàn)樽鴺?biāo)增量就是兩導(dǎo)線點(diǎn)的坐標(biāo)之差，而閉合導(dǎo)線是從已知點(diǎn)開始，最后又閉合到同一點(diǎn)上，那么同一點(diǎn)坐標(biāo)增量應(yīng)該等于零，其與理論值不相符的數(shù)值稱為縱、橫坐標(biāo)增量的閉合差： 閉合導(dǎo)線： fx=∑Δ X fy=∑Δ Y 附合導(dǎo)線：