【正文】
設(shè) A是集合 , 由 A的若干非空子集構(gòu)成的集合稱為 A的覆蓋 , 如果這些非空子.|||||||| BABABA ?????} } .{},{},{{} } ,{},{{} } ,{},{{} } ,{},{{} } ,{{54321cbaacbbcacbacba?????????? 23 集的并等于 A. ( 3)集合的對(duì)等 ( 10 分鐘) 定義: A ~ B ? 存在雙射 f : A ? B. 例: (0, 1) ~ R 集合的基數(shù) A :無限集合 A 若集合 A和 B對(duì)等 , 則稱這兩個(gè)集合的基數(shù)相同 .例: (0,1) R? 可數(shù)集合:能與自然數(shù)集合 N對(duì)等的集合 3. 教學(xué)小結(jié) ( 2 分鐘) 本講首先介紹了 集合的各種運(yùn)算 (并,交,補(bǔ),差,對(duì)稱差) 及其 滿足的 性質(zhì), 接著介紹了集合的劃分與覆蓋的概念;最后介紹了集合對(duì)等、集合的基數(shù)及可數(shù)集合。 .eyx ?? .exy ??.zyzxyx ?????.zyxzxy ?????).()()( zxyxzyx ???? ?? ).()()( xzxyxzy ???? ??.)( xyxx ?? ? .)( xxxy ???).()()( yxyx ????? ? ).()()( yxyx ????? ? 18 四、 作業(yè)與實(shí)驗(yàn) ( 2 分鐘) 1. 書面作業(yè): 習(xí)題 : 8 2. 上機(jī)作業(yè):無 19 第 四 講: 集合、 映射和運(yùn)算 ( 四 ) 一、教學(xué)目標(biāo) 的各種 運(yùn)算 各種 集合運(yùn)算 所滿足 的 性質(zhì) ,集合的基數(shù),可數(shù)集合等概念 二、重點(diǎn)與難點(diǎn)分析 : 集合 的運(yùn)算 —— 并、交、補(bǔ)、差、對(duì)稱差 集合運(yùn)算 性質(zhì) : 集合運(yùn)算等值式的證明, 集合的對(duì)等 、 基數(shù) 三、 教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程 ( 5 分鐘) 運(yùn)算的定義 運(yùn)算的性質(zhì) :對(duì)合性、冪等性、交換性、結(jié)合性、單位元素、零元素、逆元素、消去性、分配性、吸收性、德 歐拉函數(shù) ()n? : 表示小于等于 n 且與 n 互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù) ④運(yùn)算表 給定集合 A,則集合 A 上的 1 元或 2 元運(yùn)算可以用運(yùn)算表來表示 例: A={a,b,c},* * a b c a b c a b a b c c b c a 思考: A 上的封閉的 1 元, 2 元, 3 元運(yùn)算的個(gè)數(shù)是多少? 1 2 1 21 , 1 2 , 21 , 1 2 , 2111 2 1 2m in ( ) m in ( ) m in ( , )12m a x ( ) m a x ( ) m a x ( , )12,( , )g c d ( , )( , )kkkkkkrsr r s sk k kr s r s rskr s r s rskm p p p Z n p p p Zp r sm n p p plc m m n p p p??? ? ? ? ? ???為 素 數(shù) , 為 非 負(fù) 整 數(shù)21 1 1 2 1 2 2 1 1 1, 0 , , 0 , . . . , 1g c d ( , ) k k k k k k kkm q n r r n n q r r r r n r q r r r q rr m n m x n y ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 16 33 39 327 (2)運(yùn)算的性質(zhì) ①對(duì)合性 ( 5 分鐘) 定義 : 設(shè) *是 A 上的一元代數(shù)運(yùn)算, 例: : ( )x R x x? ? ? ? ? 11( ) , ( )TTA A A A?? ?? xx? ? ②冪等性 ( 5 分鐘) 冪等元: *,x x x x A?? 定義 : A 中的每個(gè)元素對(duì)于 *都是冪等元 例 : * 1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 2 3 3 1 3 例: ,?R? ③交換性 ( 5 分鐘) 定義 : 對(duì)于 A 上的二元運(yùn)算 *, ,x y A??,均有 例 : R 上的 +具有交換性 R 上的 ,映射的復(fù)合運(yùn)算 fg? ④結(jié)合性 ( 5 分鐘) 定義 : 例 :映射的復(fù)合運(yùn)算 ( ) ( )f g h f g h? 具有 結(jié)合 性 R 上的 +具有 結(jié)合 性 R 上的 ? ⑤單位元素 (幺元素) ( 5 分鐘) 定義 : 對(duì)于 A 上的二元運(yùn)算 *, e? ,使得對(duì)于 x? 例: R 關(guān)于加法運(yùn)算 +的單位元素是 0 R 關(guān)于乘法運(yùn)算 ? 的單位元素是 1 R 關(guān)于減法運(yùn)算 的單位元素是? 定理 13:若 A 關(guān)于 * 有單位元素,則單位元素是唯一的 證明:設(shè) e1,e2 是 A 關(guān)于 *的單位元素,則 e1=e1*e2=e2 ⑥零元素 ( 5 分鐘) 定義 : 對(duì)于 A 上的二元運(yùn)算 *, ?? ,使得對(duì)于 x? 例 :R 關(guān)于乘法運(yùn)算 ? 的零元素是 0 .,)( Axxx ?????,xyyx ???).()(:, zyxzyxAzyx ???????.xxe ??.xex ??.?? ??x .????x 17 R 關(guān)于減法運(yùn)算 的零元素是 ? R 關(guān)于加法運(yùn)算 ? 的零元素是 ? 定理 14:若 A 關(guān)于 * 有零元素,則零元素是唯一的 證明:設(shè) e1,e2 是 A 關(guān)于 *的 零 元素,則 e1=e1*e2=e2 ⑦逆元素 ( 5 分鐘) 前提: A 關(guān)于 二元 運(yùn)算 *有單位元素 e 定義 : ,x A y A? ? ? ,使得: 例 : R 上的加法運(yùn)算 +: x+(x)=0=(x)+x R 上的乘法運(yùn)算 ? : 110 , 1x x xxx? ? ? ? ? 注: 逆元不一定存在,存在不一定唯一,參見表 15 定理 15: 若 A 關(guān)于 *運(yùn)算有單位元素為 e 且 *運(yùn)算滿足結(jié)合律,若對(duì)于 A中的 x 有左逆元 y 與右逆元 z,則 y=z,此逆元唯一 證明: y*x=e,x*z=e y=y*e=y*(x*z)=(y*x)*z=e*z=z ⑧消去性 (分鐘) 定義 : 若 A 關(guān)于 *有零元,則記為 ? , 對(duì)于 ,x y z A??, 若 x ?? 例 131 Z上的加法運(yùn)算 +和乘法運(yùn)算 ?均滿足消去律 . ⑨分配性 ( 5 分鐘) 定義 : *, 是 A上的兩個(gè)二元運(yùn)算, 對(duì)于 ,x y z A?? 則稱 *關(guān)于 是可分配的 ⑩吸收性 ( 2 分鐘) 定義 : *, 是 A 上的兩個(gè)二元運(yùn)算, 對(duì)于 ,x y z A?? 則稱 *關(guān)于 是可吸收的 ○⒒ 德摩根律 ( 3 分鐘) 定義 : ? 是 A上的一元運(yùn)算, *, 是 A 上的兩個(gè)二元運(yùn)算,對(duì)于 ,x y z A?? 4. 教學(xué)小結(jié) ( 3 分鐘) 本講首先介紹了運(yùn)算的定義并介紹了幾種常用的運(yùn)算,接著介紹了 運(yùn)算的 性質(zhì): 對(duì)合性、冪等性、交換性、結(jié)合性、單位元素、零元素、逆元素、消去性、分配性、吸收性、德 例 : 16(mod 3)、 8(mod 5)、 9(mod 2) 模 m 加法,模 m乘法 ( ) ( m o d )( ) ( m o d )mmx y x y mx y x y m? ? ?? ? ? 例: m=5, 553 ( 5 ) 3 , 3 ( 5 ) 0? ? ? ? ? ? ③最大公約數(shù),最小公倍數(shù) ,mn Z??若 d|m 且 d|n,則 d 是 m,n 的公約數(shù),用 gcd(m,n)表示 m,n 的最大公約數(shù) ,mn Z??若 m|d且 n|d,則 d是 m,n 的公倍數(shù),用 lcm(m,n)表示 m,n 的最小公倍數(shù)。 解: xN?? x x N? ? ? ,x y N x y N? ? ? ? ? 1 , 2 , . . . m a x ( 1 , 2 , . . . )x x x n N x x x n N? ? ? ? 例:判定減法運(yùn)算 ,取小運(yùn)算 min是否是 自然數(shù) 集合 N 上的代數(shù)運(yùn) 算。 本講知識(shí)點(diǎn)概括 (1)運(yùn)算的定義 ( 25 分鐘) ① 定義 :設(shè) 1, 2,...,A A An 和 B 是集合,若 : 1 2 ...f A A A n B? ? ? ?,稱 f 為1, 2,...,A A An 到 B的 n元運(yùn)算 。 證: 對(duì)于 ,yN?? 取 x y Z?? ,顯然有 ()y f x? (使用定義證明) ③雙射 (一一對(duì)應(yīng)) ( 5分鐘) 定義 :既單射又滿射 例 18 例 19:建立一個(gè)( 0,1)到 R的一一對(duì)應(yīng) 解: : (0 , 1 ) , ( ) t a n ( 1 / 2 )f R f x x ?? ? ? 置換 : A 到 A 的雙射 (3)逆映射 (逆函 數(shù),反函數(shù)) ( 10 分鐘) 定義 : f:A→ B,將 f 的方向逆轉(zhuǎn)后,得到的集合 B到集合 A的映射 1f? 定理 17: f的逆映射 存在 的充要 條件 是 f是 雙射 (加以說明解釋) 注: 若 f是雙射,則 1f? 也是雙射 ,且 11()ff??? 例 111:判斷所給出的映射是否有逆射,若有,求出其逆映射 ① 2: , ( )f R R f x x?? ② 3: , ( )g R R f x x?? 解: ①∵ f(2)=f(2)=4, ∴根據(jù)單射定義知 f 不是單射,進(jìn)而其不是雙射,根據(jù)定理 17 知其不存在逆映射 ②顯然 g 是雙射, 其逆映射為 11 3: , ( )g R R g y y???? (4)復(fù)合映射 ( 20 分鐘) 定義 :設(shè) : , : ,f A B g B C??對(duì)于 xA?? ,令 ( ) ( ( ))h x g f x? ,則 h 是 A到 C 的映射 , h 為 f 和 g的復(fù)合映射或復(fù)合函數(shù),記為 fg(圖示) 注: ( )( ) ( ( ))f g x g f x? 條件 : ( ) ( )f A dom g? 例 112 例 113 注:一般來說即使 fg和 gf都有意義,也不能保 證 f g g f? 成立 恒等映射 (IA): : , ( )f A A f x x?? 定理 19:若 :f A B? 是雙射, 則 11,ABf f I f f I???? 若 :f A A? 是雙射,則 11 Af f f f I???? 13 定理 110: : , :f A B g B C?? 若 f和 g是單射,則 fg是單射 (證明) 若 f和 g是滿射,則 fg是 滿 射 (證明) 若 f和 g是雙射,則 fg是 雙 射 且 1 1 1()f g g f? ? ?? 定理 111: 設(shè) : , :f A B g B C?? 若 fg是單射,則 f是單射,但 g不一定 (證明) 若 fg是滿射,則 g是滿射,而 f不一定 (證明) 定理 112 設(shè) : , : , :f A B g B C h C D? ? ?,則 ) ( )f g h f g h?( 4. 教學(xué)小結(jié) ( 5 分鐘) 本講首先介紹了 映射(函數(shù))的定義及定義域、值域、像、原像等相關(guān)概念 ;接著介紹了 映射的三種性質(zhì):?jiǎn)紊洌瑵M射,雙射 ; 最后介紹了 逆映射 的定 義及 復(fù)合映射的定義及 其具有的 相關(guān)性質(zhì) 。記為: f:A→ B (圖示) 例: Ceiling function f g g f? Floor function x???? 取整函數(shù) ??x 定義域:自變量 x的取值范圍 domf 值域 :函數(shù)值 y的取值范圍 ranf 像: ( ) { ( ) | }f X f x x X??為 X在映射 f下的像 原像 : 1 ( ) { | ( ) }f X x f x Y? ??為 Y在映射 f下的原像 注:全函數(shù)即 domf =A; ()y f x? 為 x在映射 f 下的像 { | : }AB f f A B??: A到 B的所有映射組成的集合 定理 16: |A|=m,|B|=n,則 AmBn? (證明) (2)映射的性