【正文】 設(shè) A是集合 , 由 A的若干非空子集構(gòu)成的集合稱為 A的覆蓋 , 如果這些非空子.|||||||| BABABA ?????} } .{},{},{{} } ,{},{{} } ,{},{{} } ,{},{{} } ,{{54321cbaacbbcacbacba?????????? 23 集的并等于 A. （ 3）集合的對等 （ 10 分鐘） 定義： A ～ B ? 存在雙射 f : A ? B. 例： (0, 1) ～ R 集合的基數(shù) A ：無限集合 A 若集合 A和 B對等 , 則稱這兩個集合的基數(shù)相同 .例： (0,1) R? 可數(shù)集合：能與自然數(shù)集合 N對等的集合 3. 教學(xué)小結(jié) （ 2 分鐘） 本講首先介紹了 集合的各種運算 （并，交，補，差，對稱差） 及其 滿足的 性質(zhì)， 接著介紹了集合的劃分與覆蓋的概念；最后介紹了集合對等、集合的基數(shù)及可數(shù)集合。 .eyx ?? .exy ??.zyzxyx ?????.zyxzxy ?????).()()( zxyxzyx ???? ?? ).()()( xzxyxzy ???? ??.)( xyxx ?? ? .)( xxxy ???).()()( yxyx ????? ? ).()()( yxyx ????? ? 18 四、 作業(yè)與實驗 （ 2 分鐘） 1. 書面作業(yè)： 習(xí)題 ： 8 2. 上機作業(yè)：無 19 第 四 講： 集合、 映射和運算 （ 四 ） 一、教學(xué)目標 的各種 運算 各種 集合運算 所滿足 的 性質(zhì) ，集合的基數(shù)，可數(shù)集合等概念 二、重點與難點分析 ： 集合 的運算 —— 并、交、補、差、對稱差 集合運算 性質(zhì) ： 集合運算等值式的證明， 集合的對等 、 基數(shù) 三、 教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程 （ 5 分鐘） 運算的定義 運算的性質(zhì) ：對合性、冪等性、交換性、結(jié)合性、單位元素、零元素、逆元素、消去性、分配性、吸收性、德 歐拉函數(shù) ()n? ： 表示小于等于 n 且與 n 互素的正整數(shù)的個數(shù) ④運算表 給定集合 A，則集合 A 上的 1 元或 2 元運算可以用運算表來表示 例： A={a,b,c},* * a b c a b c a b a b c c b c a 思考： A 上的封閉的 1 元， 2 元， 3 元運算的個數(shù)是多少？ 1 2 1 21 , 1 2 , 21 , 1 2 , 2111 2 1 2m in ( ) m in ( ) m in ( , )12m a x ( ) m a x ( ) m a x ( , )12,( , )g c d ( , )( , )kkkkkkrsr r s sk k kr s r s rskr s r s rskm p p p Z n p p p Zp r sm n p p plc m m n p p p??? ? ? ? ? ???為 素 數(shù) ， 為 非 負 整 數(shù)21 1 1 2 1 2 2 1 1 1, 0 , , 0 , . . . , 1g c d ( , ) k k k k k k kkm q n r r n n q r r r r n r q r r r q rr m n m x n y ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 16 33 39 327 (2)運算的性質(zhì) ①對合性 （ 5 分鐘） 定義 ： 設(shè) *是 A 上的一元代數(shù)運算， 例： : ( )x R x x? ? ? ? ? 11( ) , ( )TTA A A A?? ?? xx? ？ ②冪等性 （ 5 分鐘） 冪等元： *,x x x x A?? 定義 ： A 中的每個元素對于 *都是冪等元 例 ： * 1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 2 3 3 1 3 例： ,?R? ③交換性 （ 5 分鐘） 定義 ： 對于 A 上的二元運算 *, ,x y A??,均有 例 ： R 上的 +具有交換性 R 上的 ，映射的復(fù)合運算 fg? ④結(jié)合性 （ 5 分鐘） 定義 ： 例 :映射的復(fù)合運算 ( ) ( )f g h f g h? 具有 結(jié)合 性 R 上的 +具有 結(jié)合 性 R 上的 ？ ⑤單位元素 （幺元素） （ 5 分鐘） 定義 ： 對于 A 上的二元運算 *， e? ，使得對于 x? 例： R 關(guān)于加法運算 +的單位元素是 0 R 關(guān)于乘法運算 ? 的單位元素是 1 R 關(guān)于減法運算 的單位元素是？ 定理 13：若 A 關(guān)于 * 有單位元素，則單位元素是唯一的 證明：設(shè) e1,e2 是 A 關(guān)于 *的單位元素，則 e1=e1*e2=e2 ⑥零元素 （ 5 分鐘） 定義 ： 對于 A 上的二元運算 *， ?? ，使得對于 x? 例 :R 關(guān)于乘法運算 ? 的零元素是 0 .,)( Axxx ?????,xyyx ???).()(:, zyxzyxAzyx ???????.xxe ??.xex ??.?? ??x .????x 17 R 關(guān)于減法運算 的零元素是 ？ R 關(guān)于加法運算 ? 的零元素是 ？ 定理 14：若 A 關(guān)于 * 有零元素，則零元素是唯一的 證明：設(shè) e1,e2 是 A 關(guān)于 *的 零 元素，則 e1=e1*e2=e2 ⑦逆元素 （ 5 分鐘） 前提： A 關(guān)于 二元 運算 *有單位元素 e 定義 ： ,x A y A? ? ? ，使得： 例 ： R 上的加法運算 +： x+(x)=0=(x)+x R 上的乘法運算 ? ： 110 , 1x x xxx? ? ? ? ? 注： 逆元不一定存在，存在不一定唯一，參見表 15 定理 15： 若 A 關(guān)于 *運算有單位元素為 e 且 *運算滿足結(jié)合律，若對于 A中的 x 有左逆元 y 與右逆元 z，則 y=z,此逆元唯一 證明： y*x=e,x*z=e y=y*e=y*(x*z)=(y*x)*z=e*z=z ⑧消去性 （分鐘） 定義 ： 若 A 關(guān)于 *有零元，則記為 ? ， 對于 ,x y z A??， 若 x ?? 例 131 Z上的加法運算 +和乘法運算 ?均滿足消去律 . ⑨分配性 （ 5 分鐘） 定義 ： *, 是 A上的兩個二元運算， 對于 ,x y z A?? 則稱 *關(guān)于 是可分配的 ⑩吸收性 （ 2 分鐘） 定義 ： *, 是 A 上的兩個二元運算， 對于 ,x y z A?? 則稱 *關(guān)于 是可吸收的 ○⒒ 德摩根律 （ 3 分鐘） 定義 ： ? 是 A上的一元運算， *, 是 A 上的兩個二元運算，對于 ,x y z A?? 4. 教學(xué)小結(jié) （ 3 分鐘） 本講首先介紹了運算的定義并介紹了幾種常用的運算，接著介紹了 運算的 性質(zhì)： 對合性、冪等性、交換性、結(jié)合性、單位元素、零元素、逆元素、消去性、分配性、吸收性、德 例 ： 16(mod 3)、 8(mod 5)、 9(mod 2) 模 m 加法，模 m乘法 ( ) ( m o d )( ) ( m o d )mmx y x y mx y x y m? ? ?? ? ? 例： m=5, 553 ( 5 ) 3 , 3 ( 5 ) 0? ? ? ? ? ? ③最大公約數(shù)，最小公倍數(shù) ,mn Z??若 d|m 且 d|n,則 d 是 m,n 的公約數(shù)，用 gcd(m,n)表示 m,n 的最大公約數(shù) ,mn Z??若 m|d且 n|d，則 d是 m,n 的公倍數(shù)，用 lcm(m,n)表示 m,n 的最小公倍數(shù)。 解： xN?? x x N? ? ? ,x y N x y N? ? ? ? ? 1 , 2 , . . . m a x ( 1 , 2 , . . . )x x x n N x x x n N? ? ? ? 例：判定減法運算 ,取小運算 min是否是 自然數(shù) 集合 N 上的代數(shù)運 算。 本講知識點概括 (1)運算的定義 （ 25 分鐘） ① 定義 :設(shè) 1, 2,...,A A An 和 B 是集合，若 : 1 2 ...f A A A n B? ? ? ?，稱 f 為1, 2,...,A A An 到 B的 n元運算 。 證： 對于 ,yN?? 取 x y Z?? ,顯然有 ()y f x? （使用定義證明） ③雙射 （一一對應(yīng)） （ 5分鐘） 定義 :既單射又滿射 例 18 例 19：建立一個（ 0,1）到 R的一一對應(yīng) 解： : (0 , 1 ) , ( ) t a n ( 1 / 2 )f R f x x ?? ? ? 置換 ： A 到 A 的雙射 (3)逆映射 （逆函 數(shù)，反函數(shù)） （ 10 分鐘） 定義 ： f:A→ B，將 f 的方向逆轉(zhuǎn)后，得到的集合 B到集合 A的映射 1f? 定理 17： f的逆映射 存在 的充要 條件 是 f是 雙射 （加以說明解釋） 注： 若 f是雙射，則 1f? 也是雙射 ，且 11()ff??? 例 111：判斷所給出的映射是否有逆射，若有，求出其逆映射 ① 2: , ( )f R R f x x?? ② 3: , ( )g R R f x x?? 解： ①∵ f(2)=f(2)=4, ∴根據(jù)單射定義知 f 不是單射，進而其不是雙射，根據(jù)定理 17 知其不存在逆映射 ②顯然 g 是雙射， 其逆映射為 11 3: , ( )g R R g y y???? (4)復(fù)合映射 （ 20 分鐘） 定義 :設(shè) : , : ,f A B g B C??對于 xA?? ，令 ( ) ( ( ))h x g f x? ，則 h 是 A到 C 的映射 ， h 為 f 和 g的復(fù)合映射或復(fù)合函數(shù)，記為 fg（圖示） 注： ( )( ) ( ( ))f g x g f x? 條件 : ( ) ( )f A dom g? 例 112 例 113 注：一般來說即使 fg和 gf都有意義，也不能保 證 f g g f? 成立 恒等映射 (IA)： : , ( )f A A f x x?? 定理 19：若 :f A B? 是雙射， 則 11,ABf f I f f I???? 若 :f A A? 是雙射，則 11 Af f f f I???? 13 定理 110： : , :f A B g B C?? 若 f和 g是單射，則 fg是單射 （證明） 若 f和 g是滿射，則 fg是 滿 射 （證明） 若 f和 g是雙射，則 fg是 雙 射 且 1 1 1()f g g f? ? ?? 定理 111： 設(shè) : , :f A B g B C?? 若 fg是單射，則 f是單射，但 g不一定 （證明） 若 fg是滿射，則 g是滿射，而 f不一定 （證明） 定理 112 設(shè) : , : , :f A B g B C h C D? ? ?，則 ) ( )f g h f g h?（ 4. 教學(xué)小結(jié) （ 5 分鐘） 本講首先介紹了 映射（函數(shù)）的定義及定義域、值域、像、原像等相關(guān)概念 ；接著介紹了 映射的三種性質(zhì)：單射，滿射，雙射 ； 最后介紹了 逆映射 的定 義及 復(fù)合映射的定義及 其具有的 相關(guān)性質(zhì) 。記為： f:A→ B （圖示） 例： Ceiling function f g g f? Floor function x???? 取整函數(shù) ??x 定義域：自變量 x的取值范圍 domf 值域 ：函數(shù)值 y的取值范圍 ranf 像： ( ) { ( ) | }f X f x x X??為 X在映射 f下的像 原像 ： 1 ( ) { | ( ) }f X x f x Y? ??為 Y在映射 f下的原像 注：全函數(shù)即 domf =A； ()y f x? 為 x在映射 f 下的像 { | : }AB f f A B??： A到 B的所有映射組成的集合 定理 16： |A|=m,|B|=n,則 AmBn? （證明） (2)映射的性