【正文】 ，數(shù)列 ??nx 滿足 ?? ?? Nnxfx nn ),(1 ，且 11 ?x ． （ 1）設(shè) 2??nn xa，證明： nn aa ??1 ； （ 2）設(shè)（ 1）中的數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，證明 22?nS． 點(diǎn)撥 ： 數(shù)列與不等式的證明問題常用的方法： (1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法； (2)分析法與綜合法 ： 一般是利用分析法分析，再利用綜合法 證明 ； (3)放縮法 ： 利用迭代法、累加法、累乘法構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮 . 【解】 （ 1）1 2)12(212211 ?????????? ?? nnnnnn xxxxxa 由條件知 0?nx 故nnnn axxa ??????? 22)12(1 （ 2）由（ 1）的過程可知 2)12(2)12( 121 ?????? ?? nnn xxa 11 )12(2)12( ??????? nn x? ， nnS )12()12()12( 2 ??????? ?22)12(1 12 ??? ?? . 易錯(cuò)點(diǎn) ： 不易找出放縮的方法，從而無法證明 ． 放縮法可 通過 對 分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的． 變式與引 申 2： 已知數(shù)列 }{na 是首項(xiàng) 41?a 的等比數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和為 nS ，且 423 , SSS成等差數(shù)列。最優(yōu)“整點(diǎn)”不一定在可行區(qū)域內(nèi)，這時(shí)需要將相近的點(diǎn)一一列出，再代入約束條件和目標(biāo)函數(shù)逐一檢驗(yàn)，得出正確答案 . （ 6）在利用基本不等式解決有關(guān)問題時(shí)，特別注意不等式成立的條件，即“一正，二定值，三相等”在使用基本不等式時(shí)，要掌握常見的恒等變形技巧。本題分離參數(shù)后可求最值 . 解（ 1 ） ? ? ? ? 10 0 。 當(dāng) 0, 0ab??時(shí)，同理，函數(shù) ()fx在 R 上是減函數(shù)。 ⑴ 若 0ab? ，判斷函數(shù) ()fx的單調(diào)性； ⑵ 若 0ab? ，求 ( 1) ( )f x f x?? 時(shí) x 的取值范圍。 , .. .. .. 。)1( 1 ??? ?nn nS 又 1+3+?+ （ 2n－ 1） =n2 ∴ 12( 1 ) 3 3 ( * , 20 08 )nnz n n n N n?? ? ? ? ? ? ?. 【易錯(cuò)點(diǎn)】（ 1）根據(jù)框圖不能正確寫出數(shù)列的遞推公式，解題受阻，（ 2）對數(shù)列求和的方法及每種方法所適合的題型認(rèn)識(shí)不清，盲目求和；（ 3）對指數(shù)運(yùn)算不夠熟悉，導(dǎo)致利用錯(cuò)位相減法計(jì)算出的結(jié)果不正確 . 變式 與引 申 5： 已知數(shù)列 {}na 中，111 ,22 nna n a a???,點(diǎn) （ ）在直線 y=x上，其中 n=1,2,3?. （ 1）令 1 1n n nb a a ,?? ? ?求證數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列 。)12(63 ?? ??? nn n 633 n+1=2（ 3+32+?+3 n）－ 3－（ 2n－ 1） 3 3+?+23 n， ① 則 3Sn=13 2+33 3+?+ （ 2n－ 1） 3 n+1 ② ① － ② ，得－ 2Sn=3+2 圖 312 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 （ 3）求 1 1 2 2 ( , 2 0 0 8 )n n nz x y x y x y x N n? ? ? ? ? ? ?． 【點(diǎn)撥】（ 1）程序框圖與數(shù)列的聯(lián)系是新課標(biāo)背景下的新鮮事物，因?yàn)槌绦蚩驁D中循環(huán)，與數(shù)列的各項(xiàng)一一對應(yīng)，所以，這方面的內(nèi)容是命題的新方向，應(yīng)引起重視；（ 2）由循環(huán)體寫出數(shù)列的遞推公式，再由遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決問題 的關(guān)??；（ 3）掌握錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和及數(shù)列求和的一般方法 . 【 解 】 （ 1 ） 由 框 圖 ， 知 數(shù) 列 }{nx 中 2,1 11 ??? ? nn xxx ∴ 1 2( 1 ) 2 1 ( * , 200 8 )nx n n n N n? ? ? ? ? ? ? （ 2） y1=2， y2=8， y3=26， y4=80. 由此，猜想 )2020,(,13 ????? nNny nn 證明：由框圖，知數(shù)列 {yn}中， 231 ??? nn yy ， )1(311 ???? ? nn yy ， 311 ??y ∴ 數(shù)列 {yn+1}是以 3為首項(xiàng)， 3為公比的等比數(shù)列， )2 0 0 8,(,13 ????? ? nNny nn （ 3） )13)(12()13(3)13(1 22211 ???????????????????? nnnn nyxyxyxz =13+33 2+?+ （ 2n－ 1） 故數(shù)列 {an}的通項(xiàng)式為 an=13n。有條件可知 a0,故 13q? 。 【易錯(cuò)點(diǎn)】（ 1）等差數(shù)列與等比數(shù)列只有一字之差，部分同學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)審題不仔細(xì)的現(xiàn)象；（ 2）等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的性質(zhì)混淆，概念模糊不清；（ 3）對等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)及公式的變式不熟悉，往往要先計(jì)算 qda ,1 等量，一旦計(jì)算量大一點(diǎn)，解題受阻 . 變式 與引 申 1： 等差數(shù)列 ??na 的前 n項(xiàng)和為 nS ，公差 ,0?d 83 SS ? . （ 1） 求 11S 的值 。我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 第三講 數(shù)列與不等式 (文 ) 第一節(jié) 數(shù)列及其應(yīng)用 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，是高考命題的熱點(diǎn) .縱觀近幾年的高考試題 ,對等差和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前 n 項(xiàng)和公式 ,對增長率、分期付款等數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題多以客觀題和中低檔解答題為主，對數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等相結(jié)合的綜合題的考查多屬于中高檔題 ,甚至是壓軸題 ,難度值一般控制在 ~ 之間 . 考試要求 （ 1）數(shù)列的概念和簡單表示法 ① 了解數(shù)列 的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式） .② 了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù) .（ 2）等差數(shù)列、等比數(shù)列 ① 理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念 .② 掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和公式 . ③ 能在具體的問題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題 . ④ 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 . 題型一 等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì) 例 1． 已知等比數(shù)列 ??na 中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且 1a 、321a、 22a 成等差數(shù)列，求 9 1078aaaa?? 。 【點(diǎn)撥】依據(jù)等差中項(xiàng)的概念先求等比數(shù)列的公比，再利用等比數(shù)列的性質(zhì))( 872109 aaqaa ??? 求值 . 【解】依題意可得：3 1 212 ( ) 22 a a a? ? ?，即 3 1 22a a a?? ，則有 21 1 12a q a a q?? 可得 2 12qq?? ， 解 得 12q?? 或 12q?? （ 舍 ） 所以89 23 29 1 0 11677 8 1 1 3 2 21aa a q a q qq qa a a q a q q? ? ?? ? ? ? ?? ? ?。 （ 2） 當(dāng) nS 為最小時(shí)，求 n 的值 . 題型二：數(shù)列的通項(xiàng)與求和 例 2． （ 2020 年 全國 卷 理科 第 17 題） 等比數(shù)列 ??na 的各項(xiàng)均為正數(shù)，且21 2 3 2 62 3 1, 9 .a a a a a? ? ? （Ⅰ ） 求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式 . 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 （Ⅱ ）設(shè) 3 1 3 2 3l og l og ...... l og ,nnb a a a? ? ? ?求數(shù)列 1nb??????的前項(xiàng)和 . 【點(diǎn)撥】（ 1）等 比 數(shù)列中，已知兩條件可以算出兩個(gè)基本量 1,aq,再進(jìn)一步求通項(xiàng) .（ 2）分組求和、倒序相加、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等是常用的求和方法，這里利用（ 1）的結(jié)論以及 nnba,的關(guān)系求 nb 的通項(xiàng)公式，根據(jù)裂項(xiàng)相消求 數(shù)列 1nb??????前 n 項(xiàng)和 . 【解】 （Ⅰ ） 設(shè)數(shù)列 {an}的公比為 q，由 23 2 69a a a? 得 32349aa? 所以 2 19q? 。 由 122 3 1aa??得 122 3 1a a q??，所以1 13a?。 （Ⅱ ） 3 1 3 1 3 1l og l og .. . l ognb a a a? ? ? ? (1 2 ... )( 1)2nnn? ? ? ? ???? 故 1 2 1 12 ( )( 1 ) 1nb n n n n? ? ? ? ??? 121 1 1 1 1 1 1 1 2. . . 2 ( ( 1 ) ( ) . . . ( ) )2 2 3 1 1nnb b b n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 所以數(shù)列 1{}nb的前 n項(xiàng)和為 21nn? ? 【易錯(cuò)點(diǎn)】 （ 1） 沒有注意條件 a0，公比計(jì)算錯(cuò) ；（ 2）在求 ??nb 的通項(xiàng)公式時(shí)，遺漏 了負(fù)號(hào) ；不會(huì)將 12( 1)nb n n?? ?化為 1 1 12( )1nb n n? ? ? ?. 變式 與引 申 2已知 nS 是數(shù)列 {na }的前 n項(xiàng)和，并且 1a =1，對任意正整數(shù) n， 241 ??? nn aS ；設(shè) ?,3,2,1(21 ??? ? naab nnn ） . 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 （ 1）證明數(shù)列 }{nb 是等比數(shù)列，并求 }{nb 的通項(xiàng)公式； （ 2）設(shè) }l ogl og 1{,3 2212 ?? ?? nnnnn CCTbC 為數(shù)列的前 n項(xiàng)和，求 nT . 3. 等比數(shù)列 { na }的前 n 項(xiàng)和為 nS ， 已知對任意的 nN?? ，點(diǎn) (, )nnS ，均在函數(shù)(0xy b r b? ? ? 且 1, ,b br? 均為常數(shù) )的圖像上 . （ 1）求 r的值； （ 2）當(dāng) b=2時(shí)，記 1 ()4n nnb n Na ???? 求數(shù)列 {}nb 的前 n 項(xiàng)和 nT . 題型三：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 例 3. 為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該 校 100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右圖所示；由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前 4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列 ??na 的前四項(xiàng)，后 6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列 ??nb 的前六項(xiàng) . (1)求數(shù)列 ??na 和 ??nb 的通項(xiàng)公式 ； (2)求視力不小于 ； (3)設(shè) ? ??? ????? Nnbacacac nnn 12211 ?,求數(shù)列 ??nc 的通項(xiàng)公式 . 【點(diǎn)撥】（ 1）頻率分布直方圖是解決問題的關(guān)健 ； （ 2）已知前兩項(xiàng)的頻數(shù)，前 4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列 ??na 的前四項(xiàng)，可求 na ，后 6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列 ??nb的前六項(xiàng)， 41 ab? ， ??nb 的前六項(xiàng)和可求，得 nb ，（ 3）求得 na 、 nb 后，根據(jù)題設(shè)條件，按遞推公式求通項(xiàng)公式方法求出 nc . 【解】 (1)由題意知 ,11 0 ????a 31 0 ????a 因此數(shù)列 ??na 是一個(gè)首項(xiàng) 11?a .公比為 3的等比數(shù)列，所以 13?? nna ， 2741 ??ab 又???? 621 bbb ? ? ?321100 aaa ??? =100— (1+3+9)， 所以 db 2566 1 ?? =87,解得,5??d 因此數(shù)列 ??nb 是一個(gè)首項(xiàng) 271?b ,公差為 — 5的等差數(shù)列 , 所以 ,532 nbn ?? 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 (2) 求視力不小于 9)6532()5532(65 ???????? bb (3) 由 )(12211 ?? ????? Nnbacacac nnn?① 可知，當(dāng) 2?n 時(shí)，nnn bacacac ???? ??112211 ?② ① － ② 得，當(dāng) 2?n 時(shí)， 51 ???? ? nnnn bbac , ? ?2,355 1 ???????? ?? nNnac nnn , 又 ,22,221211 ??? cbac因此數(shù)列 ??nc 是一個(gè)從第 2項(xiàng)開始的公比為 3的等比數(shù)列 , 數(shù)列 ??nc 的通項(xiàng)公式為??? ??? ?? ? )2(35 )1(22 1 nnc nn . 【易錯(cuò)點(diǎn)】（ 1）不理解 41 ab? 的意義，解題找不到切入點(diǎn)；（ 2）計(jì)算數(shù)列 ??nb 的通項(xiàng)公式時(shí)忽略 “ 全校 100名學(xué)生 ” 這個(gè)重要的已知條件，導(dǎo)致前兩問的結(jié)果都不正確；（ 3）求出 na 、nb 后，由題設(shè)條件不能正確地找出求 nc 的方法；（ 4）計(jì)算 nc 由 ① 式變?yōu)?② 式時(shí)，缺少 2?n這個(gè)條件 . 變式 與引 申 4： 某地為了防止水土流失，植樹造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數(shù)的林木，但由于自然環(huán)