經(jīng)濟數(shù)學微積分全微分及其應用-文庫吧資料
2024-08-28 16:43本頁面
【正文】 函數(shù)若在某區(qū)域 D 內(nèi)各點處處可微分，則稱這函數(shù)在 D 內(nèi)可微分 . 如果函數(shù) ),( yxfz ? 在點 ),( yx 可微分 , 則函數(shù)在該點連續(xù) .事實上 ),( ?oyBxAz ?????? ,0lim0 ??? z?),(lim00yyxxfyx???????? ]),([lim 0 zyxf ??? ??),( yxf?故函數(shù) ),( yxfz ? 在點 ),( yx 處連續(xù) . 定理 1 （必要條件） 如果函數(shù) ),( yxfz ? 在點),( yx 可微分，則該函數(shù)在點 ),( yx 的偏導數(shù)xz??、yz??必存在，且函數(shù) ),( yxfz ? 在點 ),( yx 的全微分為 yyzxxzz ????????d ． 可微的條件 證 如果函數(shù) ),( yxfz ? 在點 ),( yxP 可微分 ,對點 P 的 某 個 鄰 域 內(nèi) 的 任 意 一 點),( yyxxP ????? ， 下 式 )( ?oyBxAz ?????? 總成立 , 當 0?? y 時，上式仍成立，此時 || x??? ,),(),( yxfyxxf ??? | ) ,(| xoxA ?????Ax yxfyxxfx?? ?????),(),(lim0,xz???同理可得 .yzB ???一元函數(shù)在某點的導數(shù)存在 微分存在． 多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在 全微分存在． 例如， .000),(222222???????????yxyxyxxyyxf在點 )0,0( 處有0)0,0()0,0( ?? yx ff])0,0()0,0([ yfxfz yx ??????? ,)()( 22 yx yx ??? ????如果考慮點 ),( yxP ??? 沿著直線 xy ? 趨近于 )0,0( ，則 ?22 )()( yxyx??????22 )()( xxxx??????? ,21?說明它不能隨著 0?? 而趨于 0 ,0??當 時， ),(])0,0()0,0([ ?oyfxfz yx ????????函數(shù)在點 )0,0( 處不可微 .說明 ：多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在并不能保證全 微分存在， 定理２ （充分條件） 如果函數(shù) ),( yxfz ? 的偏導數(shù)xz??、yz??在點 ),( yx 連續(xù)，則該函數(shù)在點 ),( yx可微分．證 ),(),( yxfyyxxfz ???????)],(),([ yyxfyyxxf ????????) ] ,(),([ yxfyyxf ????),(),( yyxfyyxxf ???????xyyxxf x ?????? ),( 1? )0( 1 ?? ?在第一個方括號內(nèi)，應用拉格朗日中值定理xxyxf x ???? 1),( ?（依偏導數(shù)的連續(xù)性） 且當 0,0 ???? yx 時， 01 ?? .其中 1? 為 yx ?? , 的函數(shù) ,xxyxf x ???? 1),( ? yyyxf y ???? 2),( ?z?2121 ????? ????? yx?,00?? ?? ??故函數(shù) ),( yxfz ? 在點 ),( yx 處可微 .同理 ),(),( yxfyyxf ???,),( 2 yyyxf y ???? ?當 0?? 時， 02 ?? ,習慣上，記全微分為 .ddd yyzxxzz ??????全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù) .dddd zzuyyuxxuu ????????? 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合 疊加原理． 疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況． 例 1 計算函數(shù) xyez ? 在點 )1,2( 處的全微分 .解 ,xyyexz ??? ,xyxeyz ???,2)1,2(exz ??? ,2 2)1,2(eyz ???.d2dd 22 yexez ??所求全微分 例 2 求函數(shù) )2c o s ( yxyz ?? ，當4π?x ， π?y ，4πd ?x ， πd ?y 時的全微分 . 解 ),2s i n( yxyxz ?????),2s i n (2)2c o s ( yxyyxyz ??????π(, π )π π4 (, π )(, π )44d d dzzz x yxy??????2 π
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