【正文】 number of units: 1≤ M ≤ 5. ? The size of each unit: 0≤ ηp ≤ 250 MVA. ? The desired voltage profile requires N additional restrictions defined as: ?? kV ?? ,?? k????1,2,..., N? (6) Each solution that does not satisfy the above constraints is considered infeasible. V. OPTIMIZATION ALGORITHMS For the optimal allocation of multiple FACTS units in a 45 bus system , three algorithms are fully developed and pared: Bender’s deposition, Bamp。B) and the EnhancedPSO method, which has been proven to be more effective than other metaheuristic optimization techniques [1]. A simple but realistic case study of optimal STATCOM allocation (a type of FACTS device), based on steady state and economic criteria, is used as an illustrative example. It is important to note that the focus of this paper is not to find a solution to the particular problem, but rather to illustrate the differences between classical deterministic approaches and metaheuristic techniques and to ment on important details about the optimization process that tend to be overlooked in the literature: optimization of offline problems, understanding convexity assumptions (that do not apply only to the objective function), and the discussion about local versus global optimality (for a given objective function). The following sections of this paper provide: an optimization background (section II), concepts and issues that should not be disregarded (section III), a problem description (section IV), optimization algorithms (section V), simulation results (section VI), and concluding remarks (section VII). II. BACKGROUND The optimization techniques used to solve the optimal allocation of FACTS devices can be deposed into two primary groups: classical approaches and metaheuristic algorithms, consisting of mainly evolutionary putation techniques (ECTs). A third group of alternative methods, such as modal analysis, may also be considered. However, these methods are primarily based on technical feasibility rather than on finding optimal solutions. A. Classical Optimization Techniques In the literature, two classes of classical optimization methodologies have been ap plied to this problem: (i) Mixed Integer Linear Programming (MILP) [2][4] and (ii) Mixed Integer NonLinear Programming (MINLP) [5][7]. On the one hand, the MILP formulation, as the name indicates, requires the relation ships between all variables to be linear. Thus, this approach can be only used togther with DC power flow only. The main algorithms for solving the MILP problem are Bender’s Deposition [2], Branch and Bound (Bamp。算法的選擇依賴于所要研究的問題，在當對于某種特殊問題選擇一 種優(yōu)化算法時，這篇論文對應該考慮的不同方面作出了特別的努力。 前面的結(jié)果驗證了擴展的粒子群算法在用于一個電力系統(tǒng)中解決柔性交 流輸電系統(tǒng) 設備的優(yōu)化配置這類特殊問題有效性。奔德斯分解 算法和擴展的粒子群算法能夠?qū)ふ易顑?yōu)解，然而分支定界法僅局限于尋找一個局部最優(yōu) 點。為了找到這個問題的全局最優(yōu)解，文中對 45 型總線系統(tǒng)使用了窮舉算法，因此，利用不同優(yōu)化算法獲得的結(jié)果的性能可以被評估 。因此，在文中特別考 慮了優(yōu)化算法的搜索能力。隨 著計算時間的增加，然而，這些算法僅僅是窮舉算法所需要的總的計算量的一小部分， 子群算法分別是 %、 %. Ⅶ 、結(jié) 論 論文把應用到電力系統(tǒng)中的柔性交流輸電系統(tǒng)的最優(yōu)化配置問題的三種優(yōu)化算法進 行了對比：奔德斯分解算法、分支定界算法和啟發(fā)式技術(shù)的粒子群算法，而且這些算法 被證實比解決這一類型問題的其它進化計算技 術(shù)更加有效。另一方面，分支定界僅局限于用來尋找局部最小值。 表 61 算法的性能 — 45號總線系統(tǒng) 度。此外，電壓偏 差度量 J1 從 %. B、經(jīng)典算法與啟發(fā)式算法 參數(shù) 奔德斯算法 分支定界法 擴展的粒子群算法 總線 1 大小 1(伏安 ) (378, 75) (378, 67) (378, 75) 總線 2 大小 2(伏安 ) (433, 92) (430, 150) (433, 92) 目標函數(shù)值 電壓偏差度量 時間 (秒 ) 846 666 功率流 2,115 2,000 表二概括了經(jīng)典算法與擴展的粒子群的整體性能數(shù)據(jù)。 圖 61 1號部件的位置 [總線數(shù)目 ] 超過問題多維空間的可行域 (白色區(qū)域 )圖 61. 就總的案例數(shù)而言，圖 62表明了可行域占有的百分比。由于整個可行區(qū)域超 過了三維空間 ，所以不可能畫出整個可行域。解決方案表明需要滿足 在區(qū)域 IVC中的約束性條件的設備數(shù)目是兩個，并且計算量對應 37196250功率流。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?4321 m a x4m a x3m a x2m a x1 vrvrvrvrtv i ????? (10) 在 (54)中， rh 是一個 0到 1之間均勻分布的隨機數(shù)， vmax (h) 是 h 維問題超空間中的 最大速度。執(zhí)行速度的更 新方程代入： ? ? ? ? ? ?? ?11 ???????? txpr a n dcvvwtv igiii (9) 在這里， c 是一個單一的加速常數(shù)： c=c1 +c2 , rand 是一個 0到 1之間均勻分布的隨 機數(shù)。 在每一個個體中，額外的邏輯都是由以下規(guī)則定義的： (1) 如果相關(guān)粒子的最佳位置和群的最佳位置都是可行的解決方案 ，那么可以按照 (52)所示更新執(zhí)行速度。 為了避免群之間的差異性，對于超空間問題的每一維數(shù)的一個最大速度被定義為 vmax .此外 ，盡管優(yōu)化問題中包括了 整數(shù)變量 ，還是使用了 整數(shù)型粒子群優(yōu)化算法 里粒子的位 置被四舍五入到最接近的整數(shù) [22]。 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?1.. .11 2211 ???????????? txprctxprctvwtv ijiiiii (8) 在 (52)中， wi 是 0到 1之間的正數(shù)， c1和 c2 分別是認知和社會加速常數(shù)， rand1和 rand 2分別是 0到 1之間均勻分布的隨機數(shù)。 在迭代過程中，每一個粒子的位置都是由 (51)、 (52)所確定。 參數(shù) 最優(yōu)化解 慣性常數(shù) ( wi ) 線性遞減 ( 到 ) 個別加速常數(shù) ( c1 ) 社會加速常數(shù) ( c2 ) vmax 是總線位置 9 vmax 是靜止同步補償器的大小 50 C、擴展的粒子群算法 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?1.. .11 2211 ???????????? txprctxprctvwtv ijiiiii (1) 典型粒子群算法的制定 粒子群算法認為每一個粒子都代表問題的一種潛在解決方案，這樣，粒子就如 (45) 所定義的那樣。 為了找到可行位置的特定子集，在下一個階段，選擇另一個可行位置的子集。 對于這個特殊問題，目標函數(shù)作了如 (44)中的定義，分支策略與深度優(yōu)先搜索相對 應：對于可行位置的每個子集，將分支進行分割成更小的子區(qū)間以逐步確定靜止同步補 償器的大小間隔。 (3)修剪：如果在某個階段，出現(xiàn)了子集中的一個下界比當前上界更大的集，那么就 在算法中修剪 (丟棄 )這個集。算法的主要步驟如 [18][21][22]： (1)分支：可行方案集被分割成更簡單的子集。 (2)第二階段：為了確定設備的位置 ，約束集僅被局限于取每個部件大小的最大值， 目標函數(shù)包括了如 (44)所示的電壓偏差度量和成本度量。 不同的約束性條件被描述如下： (1)第一階段：靜止同步補償器受到了延遲約束，無功率的限制放寬了這些設備的電 源解決方案流 。這樣，第二個問題就是如 何減少復雜性和變量的數(shù)目。 A、奔德斯分解算法 這個方法分別由兩個連續(xù)階段的兩套決策組成。 (1) 總線數(shù)目被限制在 {1, 2, 3..........N} . (2) 只有一個部件可以在每個總線連接。在這種特 殊條件下，在搜索區(qū)間中都有一個對應的約束性條件?？紤]到 J1 和 J 2 的最大量級 ， 指定權(quán)值 w1 和 w2 的值分別為 1 , , 以便兩個變量有相同的重要性。 多元目標優(yōu)化問題現(xiàn)在能夠使用由度量 J1 和 J 2 的加權(quán)和組成的總的目標函數(shù) J 來 定義。 由于 C f Cv , 在目標函數(shù)中，能夠很方便地將最佳費用函數(shù)的每個術(shù)語規(guī)范化。 總費用函數(shù) totalC 由兩個 部分組成：在系統(tǒng)中被組裝的每個部件的固定費用和與每個 部件大小相關(guān)的線性函數(shù) 形成的可變費用