20xx屆二輪復(fù)習(xí)--方法技巧導(dǎo)數(shù)破解疑難優(yōu)質(zhì)課導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)問題-學(xué)案-文庫(kù)吧資料
2025-04-03 02:57本頁(yè)面
【正文】 0,1)上單調(diào)遞減，所以F(x)F(1)，x∈(0,1)，故x1＋x22.。廣東揭陽(yáng)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－lnx＋＋b(a，b∈R)．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，求證：x1＋x2＋22ax1x2.【解】 (1)f′(x)＝a－－＝(x0)，設(shè)g(x)＝ax2－x－1(x0)，①當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)0，則f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．②當(dāng)a0時(shí)，由g(x)＝0得x＝或x＝(舍)，記x＝＝x0，則g(x)＝ax2－x－1＝a(x－x0)(x－)(x0)，易知x－0，所以當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，g(x)0，f′(x)0，f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，g(x)0，f′(x)0，f(x)在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)證明：不妨設(shè)x1x2，由已知得f(x1)＝0，f(x2)＝0，即ax1＝lnx1－－b，ax2＝lnx2－－b，兩式相減得a(x2－x1)＝lnx2－lnx1－(－)，所以a＝＋.要證x1＋x2＋22ax1x2，即證x1＋x2＋22(＋)x1x2，只需證x1＋x2濟(jì)南高三期末)已知函數(shù)f(x)＝sinx－ln(1＋x)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)，證明：(1)f′(x)在區(qū)間(－1，)存在唯一極大值點(diǎn)；(2)f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【解】 (1)設(shè)g(x)＝f′(x)，則g(x)＝cosx－，g′(x)＝－sinx＋.當(dāng)x∈(－1，)時(shí)，g′(x)單調(diào)遞減，而g′(0)0，g′()0，可得g′(x)在(－1，)有唯一零點(diǎn)，∈(－1，α)時(shí)，g′(x)0；當(dāng)x∈(α，)時(shí)，g′(x)0.所以g(x)在(－1，α)單調(diào)遞增，在(α，)單調(diào)遞減，故g(x)在(－1，)存在唯一極大值點(diǎn)，即f′(x)在(－1，)存在唯一極大值點(diǎn)．(2)f(x)的定義域?yàn)?－1，＋∞)．(ⅰ)當(dāng)x∈(－1,0]時(shí)，由(1)知，f′(x)在(－1,0)單調(diào)遞增，而f′(0)＝0，所以當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，f′(x)0，故f(x)在(－1,0)單調(diào)遞減．又f(0)＝0，從而x＝0是f(x)在(－1,0]的唯一零點(diǎn)．(ⅱ)當(dāng)x∈(0，]時(shí)，由
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