【正文】 當(dāng)然我們知道高考在發(fā)展變化，我們對(duì)評(píng)價(jià)的工作也在發(fā)展變化，在新課程過(guò)程中，評(píng)價(jià)對(duì)學(xué)生發(fā)展的作用會(huì)越來(lái)越重要，同時(shí)我們每一個(gè)老師一起來(lái)做，我們會(huì)有更多的辦法想出來(lái)，讓學(xué)生在發(fā)展過(guò)程中得到更多的激勵(lì)，同時(shí)把日常教學(xué)和最后高考和日常的發(fā)展結(jié)合得更好，我們希望和大家一起朝這個(gè)方向努力，那么這一講就到這里，謝謝大家的參與，再見(jiàn)。張思明：其實(shí) 薛文敘 老師為了準(zhǔn)備這個(gè)事情，是做了很多的調(diào)查研究，同時(shí)也跟北京市 和各地 老師們做了很多的交流，薛文敘 老師在這一講的資源里面還會(huì)提供更完整高考分析和這個(gè)講座，對(duì)于其他思想方法和日常教學(xué)的建議，有更完整的版本，希望老師們進(jìn)一步地去看，參與我們的討論。我想第三件事，就是我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中，尤其是解決問(wèn)題的過(guò)程中，需要把幾何和代數(shù)結(jié)合起來(lái)，就是我們通常所說(shuō)數(shù)形結(jié)合，在討論幾何問(wèn)題的時(shí)候要畫(huà)圖，在討論代數(shù)的問(wèn)題，可能畫(huà)圖，在討論代數(shù)問(wèn)題和幾何問(wèn)題我們要把這兩者之間結(jié)合起來(lái)，可能會(huì)更好一些。我們?cè)诖髮W(xué) 和 老師討論的時(shí)候，我們要幫助學(xué)生改變的第一個(gè)習(xí)慣，就是學(xué)會(huì)閱讀概念，理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，而不能僅僅靠作題來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這是第一個(gè)建議。那么作為整體的考慮，怎么樣把這個(gè)日常教學(xué)和高考的聯(lián)系考慮清楚，我想要通過(guò)更多老師的參與和校本教研來(lái)做這個(gè)事情。而且這個(gè)等量關(guān)系的分析，等于你對(duì)概念的理解，所以我們平常教學(xué)的時(shí)候，我覺(jué)得高中數(shù)學(xué)教學(xué)還是應(yīng)該重視概念的教學(xué)。薛文敘：另外我想，還有一個(gè)教學(xué)應(yīng)該重視概念教學(xué)，其實(shí)概念清楚不清楚，對(duì)同學(xué)數(shù)學(xué)的理解非常重要。薛文敘：還有算法，框圖，這些我想不是復(fù)習(xí)能解決，得平常教學(xué)的時(shí)候，讓同學(xué)明白這個(gè)框圖的來(lái)龍去脈，然后把它搞清楚，可能就好一些。張思明：要關(guān)注標(biāo)準(zhǔn)，要關(guān)注變化，這個(gè)也是挺重要的。張飴慈：所以我想我們?nèi)粘＝虒W(xué)里，對(duì)一些數(shù)學(xué)最基本的概念，最基本的思想，看似簡(jiǎn)單，但是非常重要的東西，要一定要扎得非常非常實(shí)，而不是靠大量做片子，不停做作題的方法來(lái)弄高考。王尚志：在日常教學(xué)中，我們用了這么一個(gè)例子，就是長(zhǎng)方體作為模型，在日常教學(xué)中應(yīng)該怎么關(guān)注，所以我想高考和日常教學(xué)的關(guān)系是非常緊密的，我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中不斷地積累，才有可能使得長(zhǎng)方體變成學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何圖形的一個(gè)基本模型。但是如果你要體會(huì)是長(zhǎng)方體模型的話，其實(shí)我以這個(gè)高為Z軸，建立起空間坐標(biāo)系之后，長(zhǎng)方體非常熟悉，這個(gè)里面各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)很容易找出來(lái)，棱椎的頂點(diǎn)坐標(biāo)也非常容易找，那中點(diǎn)的坐標(biāo)一下子就算出來(lái)了，通過(guò)運(yùn)算，這個(gè)運(yùn)算也比解析幾何的運(yùn)算能力要求低多了。薛文敘：我這里有一個(gè)題正好說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，就是全國(guó)乙卷第16題，就是一個(gè)等邊三角形和三個(gè)正方形有一個(gè)公共邊，公共邊是A和B，二面角的余弦值是三分之根號(hào)三，M和N分別是兩個(gè)四邊形的里面和一個(gè)邊，還有三角形的一個(gè)邊上的兩個(gè)中點(diǎn)，來(lái)求EM和AN所成角的余弦值，這個(gè)題這么難，原因在哪？其實(shí)同學(xué)把圖畫(huà)出來(lái)以后，如果用綜合幾何的辦法畫(huà)出來(lái)，實(shí)際是一個(gè)四棱錐，只不過(guò)四棱錐那一面沒(méi)有畫(huà)，如果都畫(huà)清楚了以后，就很容易看出來(lái)。實(shí)際上我們?cè)趶?qiáng)化直角坐標(biāo)系的基本概念，長(zhǎng)方體就是直角坐標(biāo)系的一個(gè)具體模型，我覺(jué)得這個(gè)是在我們?nèi)粘＝虒W(xué)中要不斷地強(qiáng)化，所以從必修2，講立體幾何初步的時(shí)候，長(zhǎng)方體應(yīng)該成為認(rèn)識(shí)整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程的一個(gè)基本模型，反復(fù)強(qiáng)調(diào)，讓學(xué)生腦子里印住這個(gè)長(zhǎng)方體，不斷地進(jìn)行這樣的轉(zhuǎn)換，我想在處理像高考題這一類的問(wèn)題，應(yīng)該會(huì)給大家提供非常好的幫助。很多老師總結(jié)了，這個(gè)很簡(jiǎn)單，做一些難題，最基本的東西沒(méi)有把握住，我覺(jué)得不僅對(duì)高考是一個(gè)損失，而且對(duì)整個(gè)學(xué)生對(duì)幾何的認(rèn)識(shí)都是一個(gè)損失。但是考場(chǎng)上就是一個(gè)長(zhǎng)方體模型，你都不用畫(huà)，眼睛觀察觀察，然后想一想，結(jié)合這個(gè)模型，我們把這個(gè)四個(gè)模型圖畫(huà)出來(lái)以后，每一個(gè)題都在長(zhǎng)方形，每一個(gè)問(wèn)題都在長(zhǎng)方體中找到，如果命題是錯(cuò)的，我們就可以找到反例，如果這個(gè)命題正確的，我們就可以進(jìn)行證明，或者我們就很容易判斷出來(lái)，所以這種模型判斷線面，位置關(guān)系是非常有用的一個(gè)模型。再舉第二個(gè)例子，模型的判斷線面位置關(guān)系，這是高考經(jīng)?？嫉囊环N題目，其實(shí)今年也有很多題，我拿了一個(gè)稍微覺(jué)得比較難一點(diǎn)的題目，給了三個(gè)平面α、β、給了兩條不同的直線，M和N，給了四個(gè)命題判斷真假。薛文敘：一放這個(gè)圖里面，一下子就可以建立起來(lái)關(guān)于A和B長(zhǎng)方體對(duì)角線之間的關(guān)系，那就很容易解決了。如果同學(xué)腦子里長(zhǎng)方體模型的思想，把這條線放在長(zhǎng)方體中。第一個(gè)例子就是海南寧夏這一道題，也是一個(gè)難題。是不是我們請(qǐng) 薛文敘 老師再為我們介紹一下，就是結(jié)合高考題對(duì)于我們?nèi)粘＝虒W(xué)里面，怎么來(lái)通過(guò)關(guān)系把高考題反映在日常教學(xué)中，怎么來(lái)解決好像剛才抓通性通法，處理好過(guò)渡，怎么把日常的復(fù)習(xí)效率提高，能不能給我們提供一些這樣的建議和思考？薛文敘：其實(shí)高考題很多時(shí)候關(guān)鍵是在你平常的基礎(chǔ)，因?yàn)閿?shù)學(xué)實(shí)際上是累積過(guò)程，光靠高三那一年復(fù)習(xí)，突擊一下，大量的作題不能解決問(wèn)題，是平常對(duì)數(shù)學(xué)的理解，尤其現(xiàn)在的高考越出越科學(xué)，是站在學(xué)科整體度高度上，考察同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的理解，對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的運(yùn)用。這個(gè)對(duì)數(shù)告訴你，0的時(shí)候函數(shù)只是在負(fù)1和0之間，那么你就得知道，對(duì)數(shù)值什么時(shí)候在0和負(fù)1之間，這個(gè)函數(shù)是增函數(shù)么對(duì)數(shù)比到底是什么情況，所以這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是一種換元思想在解題過(guò)程中的體現(xiàn)，考察的時(shí)候其實(shí)考察這種方法。薛文敘：比如說(shuō)山東第12題，也是文科，有一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，把指數(shù)和對(duì)數(shù)復(fù)合起來(lái)了，給出a大于0，不等于1，圖象如圖所示，找出A和B之間所滿足的關(guān)系。王尚志：我想一定不是抽象的數(shù)據(jù)，一定要拿具體的東西，你要養(yǎng)一個(gè)意識(shí)，我看這個(gè)具體函數(shù)，我怎么來(lái)看待它。所以關(guān)鍵就在于，換元能不能把函數(shù)的關(guān)系搞清楚了。一個(gè)是今年山東文科的第15題，是填空題，已知，那么求 所對(duì)應(yīng)函數(shù)值。張思明：其他的通性通法也舉一些例子。王尚志：第一是有哪些模型，第二誰(shuí)來(lái)決定這些模型，基本的參數(shù)是什么，這些模型能解決哪些問(wèn)題，這是最基本的東西。當(dāng)然還有離散函數(shù)，就是等差等比這種模型，你仔細(xì)想，概率剛才我們說(shuō)了，四個(gè)基本模型，模型并不是那么太多了，我們至少要讓學(xué)生把這些基本模型，以及這些基本模型能處理問(wèn)題的范圍解清楚，這個(gè)是掌握待定系數(shù)最基本的東西。王尚志：我想這個(gè)待定系數(shù)作為一個(gè)方法，依托是對(duì)于模型的理解，因此老師在準(zhǔn)備高考的時(shí)候，或者在日常教學(xué)中要不斷強(qiáng)化模型的思想，所以我們?cè)诟咧袑W(xué)的模型沒(méi)有太多，比如函數(shù)的模型，簡(jiǎn)單的冪函數(shù)沒(méi)有幾個(gè)，Y=X，Y=KX，Y=KX+B，Y=X次方，Y等于AX次方加BX加C，Y等于X分之一，Y等于X分之K，然后再難一點(diǎn)就是Y等于X加X(jué)分之一的拓展。所以我發(fā)現(xiàn)很多孩子做這種題目，方程全部列出來(lái)的，基本思路都是對(duì)的，但是最后做不下去，解不出來(lái)，我覺(jué)得倒不一定要在這方面難為學(xué)生，考這個(gè)東西就沒(méi)有太大的意思，當(dāng)然我這個(gè)想法不一定對(duì)。因?yàn)橛袝r(shí)候是二次的，有時(shí)候甚至要有一些比較好的技巧，如果硬靠這種聯(lián)立解方程的方法，它就會(huì)比較難。有時(shí)候我們也不能說(shuō)待定系數(shù)就是變成代數(shù)的運(yùn)算去做，因?yàn)檫@是解幾何題，解幾何題必須要畫(huà)圖，一畫(huà)圖會(huì)提供很多的想法，比如說(shuō)第一象限的點(diǎn)，類似這些你腦子有一些印象，你可以提供你很多橫本變形的方向。那么基本的方法就是待定系數(shù)，但是能不能待定好，也就是怎么從已知條件發(fā)覺(jué)等量關(guān)系，然后列出相應(yīng)的關(guān)于A和B的方程，然后把參數(shù)找出來(lái)。第二小問(wèn)有一個(gè)M點(diǎn)滿足的是 直線l平行于MN，和C1交于AB兩點(diǎn)，和橢圓交于AB兩點(diǎn)，那么OA和OB數(shù)量的積是零的話，求這條直線的方程。直角坐標(biāo)系有（37：33），左右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，F(xiàn)2也是拋物線，的焦點(diǎn)，就是橢圓的F2焦點(diǎn)和拋物線是共交點(diǎn)。薛文敘：那么比較困難一點(diǎn)的題目，就是比較大的題目，像解析幾何里其實(shí)待定系數(shù)法是最突出的，因?yàn)椋▓A錐）曲線這個(gè)模型基本上就定了，尤其是平移和旋轉(zhuǎn)這一部分減弱了，基本上都是標(biāo)準(zhǔn)位置上的圓錐曲線的，所以這個(gè)待定系數(shù)法使用得更多頻繁。然后我看我求出大面積，我就得分了，然后求出小面積，我也得分了，再一比就是滿分了。張思明：我覺(jué)得語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化要求比較高，學(xué)生表達(dá)不太熟悉，用距離來(lái)描述這個(gè)區(qū)域。然后E是到原點(diǎn)距離不大于一的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，D是絕對(duì)值不大于二的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，隨便向D隨機(jī)投一個(gè)點(diǎn)，落入E中的概率。就是怎么來(lái)做這個(gè)問(wèn)題，我覺(jué)得還是抓最基本的東西。張飴慈：另外這種題目，你看著很長(zhǎng)很長(zhǎng)，實(shí)際上你要做起來(lái)，要踏踏實(shí)實(shí)一步一步走，每一步做，你就覺(jué)得不是一個(gè)很難的題目。王尚志：實(shí)際上最關(guān)鍵的是第一步，你把這個(gè)確定了，然后你又熟悉對(duì)鉤函數(shù)，其他的事情應(yīng)該都是在通性通法以內(nèi)應(yīng)該解決的問(wèn)題，有 時(shí)候 老師平常題目做得太多，太復(fù)雜，反而對(duì)這些通性的問(wèn)題沒(méi)有了辦法。所以說(shuō)第二問(wèn)其實(shí)應(yīng)該也可以的。張飴慈：所以就是一個(gè)模型函數(shù)然后要確定系數(shù)，這是非常典型的模型和確定系數(shù)的關(guān)系。然后找出來(lái)以后，切線方程知道了，這三角形的面積就好辦了，來(lái)證明它是一個(gè)定值，所以這種題目我覺(jué)得不是特別新穎的那種，特別怪的題目，都是大家的常規(guī)題，為什么考得不好呢？那么可能原因首先就是這個(gè)里面滲透很多數(shù)學(xué)思想，比如說(shuō)剛才求這個(gè)解析式的時(shí)候，它的條件就是f(2)的切線給你了，等于給了兩個(gè)條件，這兩個(gè)條件就需要待定通過(guò)兩個(gè)方程，解決的是兩個(gè)參數(shù)的問(wèn)題，就把f(x)定下來(lái)了。所以我們覺(jué)得復(fù)雜的題目可能用得也是很多，比如說(shuō)今年海南和寧夏的，這道題變成一個(gè)超難題，不到10%學(xué)生做對(duì)，給的題目就是給了，這是老師所常說(shuō)的平移以后的對(duì)鉤函數(shù)。所以等于給了兩個(gè)模型，一個(gè)直線的模型，一個(gè)是切線的模型，要由這兩個(gè)來(lái)確定b，肯定要建立關(guān)于b的方程。張飴慈：另外像知三求二這種東西，只適合等差或者等比數(shù)列，但是你知道這些待定系數(shù)法在很多問(wèn)題上都可以用這種方法，對(duì)這種方法培訓(xùn)有很大的好處。比如說(shuō)一用兩個(gè)參數(shù)，要用兩個(gè)方程來(lái)定，這個(gè)東西有了就要去掌握方程很具體的東西。薛文敘：學(xué)生如果知道從模型出發(fā)，然后需要待定這幾個(gè)系數(shù)，他這么想我覺(jué)得他理解就深了，如果光知道知三求二，可能知幾求幾到時(shí)候可能不是只是死記。張飴慈：不是光讓學(xué)生說(shuō)，這個(gè)高考題你會(huì)不會(huì)做，你要總結(jié)一下待定系數(shù)法，這個(gè)思想讓他知道，現(xiàn)在我用什么樣的最基本的方法來(lái)做這道題的，不是說(shuō)會(huì)做就算完了。這些參數(shù)就導(dǎo)出了前n項(xiàng)和，或者說(shuō)通項(xiàng)的表達(dá)形式，所以我們要明確，我們老說(shuō)知三求二，但是最基本的參數(shù)我們應(yīng)該清楚。因?yàn)槲覀冎赖炔顢?shù)列的基本模型，求（27：11）的公式，就需要（首相）和空差，那么要求這兩個(gè)未知量的話，就得有等量建立一個(gè)關(guān)系。薛文敘：我覺(jué)得你們幾個(gè)人說(shuō)得挺好，我覺(jué)得中學(xué)老師比較容易把方法看成操作層面上考慮得比較多，具體這道題用待定系數(shù)法，能求出A和B來(lái)，那道題用的是消元法，可是實(shí)際上他們蘊(yùn)含的思想這方面我們考慮得不夠，我覺(jué)得今后在這方面可以更多來(lái)思考一下。所以最基本的東西一定要把握得非常好。有的學(xué)生這三個(gè)方程，這兩個(gè)一看，X的系數(shù)正好相反，一加，把X消掉了。還是掌握那種最基本的東西，我覺(jué)得對(duì)于將來(lái)學(xué)生的發(fā)展是很重要的，所以我覺(jué)得我們需要在這些問(wèn)題上認(rèn)真地討論，所以我們建議老師要把注意力集中在通性通法上，這樣幫助學(xué)生把這些東西掌握了，我想基本的問(wèn)題就應(yīng)該有一個(gè)比較好的處理。就是在這樣的東西基礎(chǔ)上，我覺(jué)得沒(méi)有必要在這上面花工夫，而真正消元的思想倒是需要掌握，有些老師總覺(jué)得消元太簡(jiǎn)單，反而不太重視，在技巧上花得太多。張飴慈：我舉一個(gè)例子，就是以前比如三元一次方程組，X+Y=1，Y+Z=2，Z+X=3，你把三個(gè)方程同時(shí)加起來(lái)，來(lái)做這個(gè)東西，這就屬于一種技巧性的東西。張思明：但是在老師實(shí)踐教學(xué)過(guò)程，老師還會(huì)根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)會(huì)總結(jié)出很多很多，比如說(shuō)小的，在裂項(xiàng)差分的方法，還有一些很技術(shù)層面的方法，也是在我們看待這些方法過(guò)程中，是不是請(qǐng)老師提一個(gè)建議，很可能做這一道題的時(shí)候，就差這一點(diǎn)點(diǎn)東西，怎么把這個(gè)關(guān)系處理好？王尚志：我想我們?nèi)シ治鲞@些問(wèn)題，當(dāng)然我們必須拿具體的東西來(lái)分析了，還是這幾個(gè)基本的東西是重點(diǎn)的，那些東西實(shí)際上還是蘊(yùn)含在這里面的。像方程組，其實(shí)初中有把這個(gè)內(nèi)容加進(jìn)去，但是核心的思想就是轉(zhuǎn)化成我們會(huì)做的，更簡(jiǎn)單的東西來(lái)處理。我們?cè)诜e分過(guò)程中，常常要做的無(wú)非是，我們所謂換元法就是要確定中間變量，把一個(gè)復(fù)雜積分變得比較簡(jiǎn)單，我們?cè)谧龊瘮?shù)變換也經(jīng)常要用這種中間變量作為過(guò)渡，把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題變成簡(jiǎn)單，所以我覺(jué)得這種方法應(yīng)該也是值得關(guān)注的一種基本方法。所以這樣的思想對(duì)我們解決問(wèn)題就非常有好處了，用這樣的思想把我們學(xué)過(guò)簡(jiǎn)單一些函數(shù)模型，一些很基本的東西，套在一塊變成一個(gè)很復(fù)雜，很亂的東西，但是你能夠清楚它是一些很基本的東西，中間變量實(shí)際把一些復(fù)雜分成幾個(gè)簡(jiǎn)單的東西來(lái)做。張飴慈：同樣像中間變量替換，這也是一個(gè)非常非常基本的方法。我覺(jué)得它的重要性不僅在高中數(shù)學(xué)中凸顯出來(lái)，這種方法之所以能成為重要的方法，那么在今后學(xué)習(xí)中仍然是重要的學(xué)習(xí)方法，無(wú)論我們?cè)趯W(xué)習(xí)將來(lái)所學(xué)習(xí)的很多數(shù)學(xué)課程中，和其他的一些課程，我