【正文】 總之，整個(gè)過(guò)程讓學(xué)生通過(guò)自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了“情境思考”——“提出問(wèn)題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實(shí)驗(yàn)探究”——“理論探究”——“解決問(wèn)題”——“反思總結(jié)”的歷程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂(lè)，從而使三維教學(xué)目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將過(guò)渡性問(wèn)題引伸成一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知三角形的兩條邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角及第三邊。我想到了“情境——問(wèn)題”教學(xué)模式，即構(gòu)建一個(gè)以情境為基礎(chǔ)，提出問(wèn)題與解決問(wèn)題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境——問(wèn)題”學(xué)習(xí)鏈，并根據(jù)上述精神，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，具體做出了如下設(shè)計(jì)：①創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境作為提出問(wèn)題的背景（注：該情境源于《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書【設(shè)計(jì)意圖】為保證學(xué)生有充足的時(shí)間來(lái)完成觀察、歸納、猜想、探究和證明，小結(jié)的時(shí)間花得少且比較簡(jiǎn)單，這將在下一節(jié)課進(jìn)行完善，因此作業(yè)的布置也為下節(jié)課做一些必要的準(zhǔn)備。我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個(gè)探索過(guò)程我們也掌握了研究問(wèn)題的一般方法。（四）小結(jié)師：本節(jié)課我們是從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)猜想、實(shí)驗(yàn)，歸納等思維方法，最后發(fā)現(xiàn)了正弦定理，并從不同的角度證明了它。（學(xué)生16上臺(tái)板書自己的證明方法。B)=|AC||AD|cos(90176。C)=0 rrc|j|(sinB)+b|j|sinC=0AcrjbaC圖 8 向量所以bsinB=csinC，同理可得asinA=bsinB師：能否簡(jiǎn)化證法四的過(guò)程？（留有一定的時(shí)間給學(xué)生思考）uuurruuurr師：ABj+CAj=0有什么幾何意義？uuurruuurruuurruuurr生15：把ABj+CAj=0移項(xiàng)可得CAj=BAjuuurruuur義可知CA與BA在j方向上的投影相等。uuuruuuruuurr因?yàn)锳B+BC+CA=0，uuuruuuruuurr所以(AB+BC+CA)j=0 uuurruuurr即ABj+CAj=0 Buuurruuurruuurruuurr|AB||j|cosAB,j+|CA||j|cosCA,j=0 rrc|j|cos(90176。師：還是先研究銳角三角形的情形，按以上思路，請(qǐng)大家具體試一下，看還有什么問(wèn)題？教師參與學(xué)生的小組研究，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生注意兩個(gè)向量的夾角，最后讓學(xué)生通過(guò)小組代表作完成了如下證明。uuuruuur、BC、CA間有什么關(guān)系？ 師：前面我們學(xué)習(xí)了平面向量，能否運(yùn)用向量的方法證明呢？uuur師：任意DABC中，三個(gè)向量ABuuuruuuruuurr生12：AB+BC+CA=0uuuruuuruuurr師：正弦定理體現(xiàn)的是三角形中邊角間的數(shù)量關(guān)系，由AB+BC+CA=0轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系？uuuruuuruuurruuuruuuruuurr師：在AB+BC+CA兩邊同乘以向量j,有(AB+BC+CA)j=0,這里的向量rrj可否任意？又如何選擇向量j?r生14：因?yàn)閮蓚€(gè)垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮讓向量j與三個(gè)向量中的一uuur個(gè)向量（如向量BC）垂直，而且使三個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式。ABC=csin208。ACB=\asin208。BACsin208。ADB=BD=2rsin208。208。ACBcBa證法三：如圖7，設(shè)BD=2r是DABC外接圓的直徑，則208。ABC=Asin208。ABC12\SDABC=\a12absin208。bcsin208。BACCF=asin208。則有AD=bsin208。師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？ 學(xué)生七嘴八舌地說(shuō)出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價(jià)值：①三角形的面積不變；②三角形外接圓直徑不變。注意： csinB=bsinC表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。師：請(qǐng)你（生11）到講臺(tái)上，講講你的證明思路？生11：（走上講臺(tái)），設(shè)法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問(wèn)題進(jìn)行解決。課堂只讓學(xué)生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進(jìn)程的同時(shí)，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時(shí)間。探究方案：直角三角形——已驗(yàn)證； 銳角三角形——課堂探究； 鈍角三角形——課后證明。【設(shè)計(jì)意圖】與情境設(shè)置中的問(wèn)題相呼應(yīng)，間接給出了正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，并強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)探究、應(yīng)用正弦定理的心理需求。師：如果上述結(jié)論成立，則在三角形中利用該結(jié)論解決“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊。師：利用上述結(jié)論解決情境問(wèn)題中圖3的情形，并檢驗(yàn)與生5的計(jì)算結(jié)果是否一致。結(jié)論：asinA=bsinB=csinC對(duì)于任意三角形都成立。正弦定理的探究（1）實(shí)驗(yàn)探究正弦定理師：借助于電腦與多媒體，利用《幾何畫板》軟件，演示正弦定理教學(xué)課件。那么生9：成立。）師：asinA=bsinB=csinC對(duì)一般三角形是否成立呢？眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗(yàn)，若有一個(gè)不成立，則否定結(jié)論：若都成立，則說(shuō)明這個(gè)結(jié)論很可能成立，再想辦法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。師：請(qǐng)說(shuō)出你研究的結(jié)論？ 生7：asinA=bsinB=csinC師：你是怎樣想出來(lái)的？生7：因?yàn)樵谥苯侨切沃校鼈兊谋戎刀嫉扔谛边卌。（2）展示學(xué)生研究的結(jié)果。師：如果一般三角形具有某種邊角關(guān)系，對(duì)于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我們先研究特例，請(qǐng)同學(xué)們對(duì)直角三角形進(jìn)行研究，尋找一般三角形的各邊及其對(duì)角之間有何關(guān)系？同學(xué)們可以參與小組共同研究。（三）解決問(wèn)題正弦定理的引入師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問(wèn)題時(shí)，是怎樣處理的？ 眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。但在生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個(gè)三角形都劃分為直角三角形求解，很不便。AED|v1|=3sin45176。AEDF圖 4\sin208。AED|AG|=|v1|cos208。生5：能，過(guò)點(diǎn)D作DG^AE于點(diǎn)G（如圖4），\|DG|=|v1|sin208。但圖2中DADE是直角三角形，而圖3中DADE不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關(guān)系求解。師：請(qǐng)大家討論一下，如何解決這兩個(gè)問(wèn)題？ 生3：不知道。師：請(qǐng)大家思考，這兩個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么？ 部分學(xué)生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊。還需求208。AED=208。37176。師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問(wèn)題對(duì)應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。題4，問(wèn)題4與問(wèn)題5是兩個(gè)相關(guān)問(wèn)題。待各小組將問(wèn)題交給老師后，老師篩選了幾個(gè)問(wèn)題通過(guò)投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的五個(gè)問(wèn)題：船應(yīng)開(kāi)往B處還是C處？船從A開(kāi)到B、C分別需要多少時(shí)間？船從A到B、C的距離分別是多少？船從A到B、C時(shí)的速度大小分別是多少？船應(yīng)向什么方向開(kāi)，才能保證沿直線到達(dá)B、C？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)小組交流，提供一定的研究學(xué)習(xí)與情感交流的時(shí)空，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力；問(wèn)題源于學(xué)生，突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，能