第三篇第3講導數(shù)的綜合應用(參考版)
2024-12-13 05:36本頁面
【正文】 ln a＋ 2x－ ln a＝ (ax－ 1)ln a＋ 2x. ∵ a1， x0， ∴ ax－ 10， ln a0， 2x0， ∴ 當 x∈ (0， ＋ ∞ )時 ， F′ (x)0， 即函數(shù) F(x)在區(qū)間 (0， ＋ ∞ )上單調(diào)遞增． (2)解 由 (1)知當 x∈ (－ ∞ ， 0)時 ， F′ (x)0， ∴ F(x)在 (－ ∞ ， 0]上單調(diào)遞減 ， 在 (0， ＋ ∞ )上單調(diào)遞增． ∴ F(x)取得最小值為 F(0)＝ 1. 由 ??? ???F（ x）－ b＋ 1b － 3＝ 0， 得 F(x)＝ b－ 1b＋ 3 或 F(x)＝ b－ 1b－ 3， ∴ 要使函數(shù) y＝ ??? ???F（ x）－ b＋ 1b － 3 有四個零點 ， 只需 ?????b－ 1b＋ 31，b－ 1b－ 31，即 b－ 1b4， 即 b2－ 4b－ 1b 0， 解得 b2＋ 5或 2－ 5b0. 故 b的取值范圍是 (2－ 5， 0)∪ (2＋ 5， ＋ ∞ )． (3)解 ∵ 任意 x1， x2∈ [－ 1， 1]， 由 (1)知 F(x)在 (－ ∞ ， 0)上單調(diào)遞減 ， 在 (0，＋ ∞ )上單調(diào)遞增 ， ∴ F(x)min＝ F(0)＝ 1. 從而再來比較 F(－ 1)與 F(1)的大小即可． F(－ 1)＝ 1a＋ 1＋ ln a， F(1)＝ a＋ 1－ ln a， ∴ F(1)－ F(－ 1)＝ a－ 1a－ 2ln a. 令 H(x)＝ x－ 1x－ 2ln x(x0)， 則 H′(x)＝ 1＋ 1x2－ 2x＝ x2－ 2x＋ 1x2 ＝（ x－ 1） 2x2 0， ∴ H(x)在 (0，＋ ∞ )上單調(diào)遞增． ∵ a1， ∴ H(a)H(1)＝ 0.∴ F(1)F(－ 1)． ∴ |F(x2)－ F(x1)|的最大值為 |F(1)－ F(0)|＝ a－ ln a， ∴ 要使 |F(x2)－ F(x1)|≤ e2－ 2 恒成立 ， 只需 a－ ln a≤ e2－ 2 即可． 令 h(a)＝ a－ ln a(a1)， h′ (a)＝ 1－ 1a0， ∴ h(a)在 (1， ＋ ∞ )上單調(diào)遞增． ∵ h(e2)＝ e2－ 2， ∴ 只需 h(a)≤ h(e2)，即 1a≤ e2. 故 a的取值范圍是 (1， e2]. 特別提醒： 教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設計 1 處取得極值． (1)求函數(shù) f(x)的解析式 ； (2)若過點 A(1， m)(m≠ － 2)可作曲線 y＝ f(x)的三條切線 ， 求實數(shù) m 的取值范圍． 解 (1)f′(x)＝ 3ax2＋ 2bx－ 3， 依題意 ， f′ (1)＝ f′(－ 1)＝ 0， 即 ???3a＋ 2b－ 3＝ 0，3a－ 2b－ 3＝ 0， 解得 a＝ 1， b＝ 0. ∴ f(x)＝ x3－ 3x. (2)由 (1)知 f′(x)＝ 3x2－ 3＝ 3(x＋ 1)(x－ 1)， ∵ 曲線方程為 y＝ x3－ 3x， ∴ 點 A(1， m)(m≠ － 2)不在曲線上． 設切點為 M(x0， y0)， 則點 M 的坐標滿足 y0＝ x30－ 3x0. ∵ f′ (x0)＝ 3(x20－ 1)， ∴ 切線的斜率為 3(x20－ 1)＝ x30－ 3x0－ mx0－ 1 ， 整理得 2x30－ 3x20＋ m＋ 3＝ 0. ∵ 過點 A(1， m)可作曲線的三條切線 ， ∴ 關于 x0的方程 2x30－ 3x20＋ m＋ 3＝ 0 有三個實根． 設 g(x0)＝ 2x30－ 3x20＋ m＋ 3， 則 g′(x0)＝ 6x20－ 6x0， 由 g′(x
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