第三篇 第3講 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用-預(yù)覽頁
【正文】 ? ???3－ 13a3. ∴ Q(a)＝?????9（ 6－ a） ， 3≤ a92，4??? ???3－ 13a3， 92≤ a≤ 5. 故若 3≤ a92， 則當(dāng)每件售價(jià)為 9 元時(shí) ， 分公司一年的利潤 L最大 ， 最大值 Q(a)＝ 9(6－ a)(萬元 )；若 92≤ a≤ 5， 則當(dāng)每件售價(jià)為 ??? ???6＋ 23a 元時(shí) ， 分公司一年的利潤 L最大 ， 最大值 Q(a)＝ 4??? ???3－ 13a3(萬元 )． 8． (13 分 )已知函數(shù) f(x)＝ ln x－ ax. (1)若 a0， 試判斷 f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性； (2)若 f(x)在 [1， e]上的最小值為 32， 求 a的值； (3)若 f(x)x2在 (1， ＋ ∞ )上恒成立 ， 求 a的取值范圍． 思維啟迪： (1)求導(dǎo)數(shù) f′(x)→ 判斷 f′(x)0 或 f′(x)0→ 確定單調(diào)性． (2)根據(jù)單調(diào)性 → 求 f(x)在 [1， e]上的最小值 → 列方程求解． (3)f(x)x2→ axln x－ x3→ 求 xln x－ x3的最大值． 解 (1)由題意知 f(x)的定義域?yàn)?(0， ＋ ∞ )， 且 f′(x)＝ 1x＋ ax2＝ x＋ ax2 . ∵ a0， ∴ f′ (x)0， 故 f(x)在 (0， ＋ ∞ )上是單調(diào)遞增函數(shù)． (2)由 (1)可知 ， f′ (x)＝ x＋ ax2 . ① 若 a≥ － 1， 則 x＋ a≥ 0， 即 f′(x)≥ 0 在 [1， e]上恒成立 ， 此時(shí) f(x)在 [1， e]上為增函數(shù) ， ∴ f(x)min＝ f(1)＝－ a＝ 32， ∴ a＝－ 32(舍去 )． ② 若 a≤ － e， 則 x＋ a≤ 0， 即 f′(x)≤ 0 在 [1， e]上恒成立 ， 此時(shí) f(x)在 [1， e]上為減函數(shù) ， ∴ f(x)min＝ f(e)＝ 1－ ae＝ 32， ∴ a＝－ e2(舍去 )． ③ 若－ ea－ 1， 令 f′(x)＝ 0 得 x＝－ a， 當(dāng) 1x－ a時(shí) ， f′ (x)0， ∴ f(x)在 (1， － a)上為減函數(shù)； 當(dāng)－ axe 時(shí) ， f′ (x)0， ∴ f(x)在 (－ a， e)上為增 函數(shù) ， ∴ f(x)min＝ f(－ a)＝ ln(－ a)＋ 1＝ 32， ∴ a＝－ e. 綜上所述 ， a＝－ e. (3)∵ f(x)x2， ∴ ln x－ axx2. 又 x0， ∴ axln x－ x3. 令 g(x)＝ xln x－ x3， h(x)＝ g′(x)＝ 1＋ ln x－ 3x2， h′ (x)＝ 1x－ 6x＝ 1－ 6x2x . ∵ x∈ (1， ＋ ∞ )時(shí) ， h′ (x)0， ∴ h(x)在 (1， ＋ ∞ )上是減函數(shù)． ∴ h(x)h(1)＝－ 20， 即 g′(x)0， ∴ g(x)在 (1， ＋ ∞ )上也是減函數(shù)． g(x)g(1)＝－ 1， ∴ 當(dāng) a≥ － 1 時(shí) ， f(x)x2在 (1， ＋ ∞ )上恒成立．故 a的取值范圍是 [－ 1， ＋ ∞ )． 探究提高 (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 ， 直接求導(dǎo) ， 然后解不等式即可 ， 注意函數(shù)的定義域． (2)參數(shù)問題涉及的有最值恒成立的問題、單調(diào)性的逆向應(yīng)用等 ， 求解時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用． B 級(jí) 能力突破 (時(shí)間： 30 分鐘 滿分： 45 分 ) 一、選擇題 (每小題 5 分 ， 共 10 分 ) 1． (2021溫州五校聯(lián)考 )已知函數(shù) f(x)＝ ax3＋ bx2－ 3x在 x＝ 177。高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容 .
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