第三篇第3講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用-wenkub
2022-12-20 05:36:34 本頁面
【正文】 x2－ 9x＋ 2≥ m 對(duì)任意 x∈ [－ 2， 2]恒成立 ， 則 m 的取值范圍是 ( )． A． (－ ∞ ， 7] B． (－ ∞ ， － 20] C． (－ ∞ ， 0] D． [－ 12， 7] 解析 令 f(x)＝ x3－ 3x2－ 9x＋ 2， 則 f′(x)＝ 3x2－ 6x－ 9， 令 f′(x)＝ 0， 得 x＝－ 1或 x＝ 3(舍去 )． ∵ f(－ 1)＝ 7， f(－ 2)＝ 0， f(2)＝－ 20.∴ f(x)的最小值為 f(2)＝－20， 故 m≤ － 20， 可知應(yīng)選 B. 答案 B 4． (2021 f(x)＋ ex 1， 可得極大值為f(－ 1)＝ 2， 極小值為 f(1)＝－ 2， 如圖 ， 觀察得－ 2＜ a＜ 2 時(shí)恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn)． 答案 (－ 2， 2) 6． (2021上饒模擬 )設(shè)函數(shù) f(x)＝ ax3－ 3x＋ 1(x∈ R)， 若對(duì)于任意 x∈ [－ 1， 1]， 都有 f(x)≥ 0 成立 ， 則實(shí)數(shù) a的值為 ________． 解析 (構(gòu)造法 )若 x＝ 0， 則不論 a取何值 ， f(x)≥ 0 顯然成立； 當(dāng) x＞ 0， 即 x∈ (0， 1]時(shí) ， f(x)＝ ax3－ 3x＋ 1≥ 0 可化為 a≥ 3x2－ g(x)＝ 3x2－1x3， 則 g′(x)＝3（ 1－ 2x）x4 ， 所以 g(x)在區(qū)間 ??? ???0， 12 上單調(diào)遞增 ， 在區(qū)間 ??? ???12， 1 上單調(diào)遞減 ， 因此 g(x)max＝g??? ???12 ＝ 4， 從而 a≥ 4. 當(dāng) x＜ 0， 即 x∈ [－ 1， 0)時(shí) ， 同理 a≤ 3x2－ 1x3. g(x)在區(qū)間 [－ 1， 0)上單調(diào)遞增 ， ∴ g(x)min＝ g(－ 1)＝ 4， 從而 a≤ 4， 綜上可知 a＝ 4. 答案 4 4． 將邊長(zhǎng)為 1 m的正三角形薄鐵皮 ， 沿一條平行于某邊的直線剪成 兩塊，其中一塊是梯形，記 s＝ （梯形的周長(zhǎng)）2梯形的面積 ， 則 s的最小值是 ________． 解析 如圖所示 ， 設(shè) AD＝ x m(0＜ x＜ 1)， 則 DE＝ AD＝ x m， ∴ 梯形的周長(zhǎng)為 x＋ 2(1－ x)＋ 1＝ 3－ x (m)， 又 S△ ADE＝ 34 x2(m2)， ∴ 梯形的面積為 34 － 34 x2(m2)， ∴ s＝ 4 33 x2－ 6x＋ 91－ x2 (0＜ x＜ 1)， ∴ s′ ＝ － 8 33 （ 3x－ 1）（ x－ 3）（ 1－ x2） 2 ， 令 s′＝ 0， 得 x＝ 13或 3(舍去 )， 當(dāng) x∈ ??? ???0， 13時(shí) ， s′ ＜ 0， s 遞減；當(dāng) x∈ ??? ???13， 1 時(shí) ， s′ ＞ 0， s遞增．故當(dāng) x＝ 13時(shí) ， s的最 小值是 32 33 . 答案 32 33 三、解答題 (共 25 分 ) 5． (12分 )(2021 ln a＋ 2x－ ln a＝ (ax－ 1)ln a＋ 2x. ∵ a1， x0， ∴ ax－ 10， ln a0， 2x0， ∴ 當(dāng) x∈ (0， ＋ ∞ )時(shí) ， F′ (x)0， 即函數(shù) F(x)在區(qū)間 (0， ＋ ∞ )上單調(diào)遞增． (2)解 由 (1)知當(dāng) x∈ (－ ∞ ， 0)時(shí) ， F′ (x)0， ∴ F(x)在 (－ ∞ ， 0]上單調(diào)遞減 ， 在 (0， ＋ ∞ )上單調(diào)遞增． ∴ F(x)取得最小值為 F(0)＝ 1. 由 ??? ???F（ x）－ b＋ 1b － 3＝ 0， 得 F(x)＝ b－ 1b＋ 3 或 F(x)＝ b－ 1b－ 3， ∴ 要使函數(shù) y＝ ??? ?
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