第三篇第3講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(專業(yè)版)
【正文】 泰州調(diào)研 )若函數(shù) f(x)＝ x＋ asin x 在 R 上遞增 ， 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為________． 解析 ∵ f′(x)＝ 1＋ acos x， ∴ 要使函數(shù) f(x)＝ x＋ asin x在 R 上遞增 ， 則 1＋ acos x≥ 0 對(duì)任意實(shí)數(shù) x都成立． ∵ － 1≤ cos x≤ 1， ① 當(dāng) a0 時(shí) ， － a≤ acos x≤ a， ∴ － a≥ － 1， ∴ 0a≤ 1； ② 當(dāng) a＝ 0 時(shí)適合； ③ 當(dāng) a0 時(shí) ， a≤ acos x≤ － a， ∴ a≥ － 1， ∴ － 1≤ a0. 綜上 ， － 1≤ a≤ 1. 答案 [－ 1， 1] 三、解答題 (共 25 分 ) 7． (12 分 )某分公司 經(jīng)銷某品牌產(chǎn)品 ， 每件產(chǎn)品的成本為 3 元 ， 并且每件產(chǎn)品需向總公司交 a 元 (3≤ a≤ 5)的管理費(fèi) ， 預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為 x 元 (9≤ x≤ 11)時(shí) ， 一年的銷售量為 (12－ x)2萬件． (1)求分公司一年的利潤(rùn) L(萬元 )與每件產(chǎn)品的售價(jià) x的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí) ， 分公司一年的利潤(rùn) L 最大 ， 并求出 L 的最大值 Q(a)． 解 (1)分公司一年的利潤(rùn) L(萬元 )與售價(jià) x 的函數(shù)關(guān)系式為： L＝ (x－ 3－ a)(12－ x)2， x∈ [9， 11]． (2)L′(x)＝ (12－ x)(18＋ 2a－ 3x)． 令 L′＝ 0， 得 x＝ 6＋ 23a或 12(不合題意 ， 舍去 )． ∵ 3≤ a≤ 5， ∴ 8≤ 6＋ 23a≤ 283 . 在 x＝ 6＋ 23a兩側(cè) L′的值由正變負(fù)． ∴① 當(dāng) 8≤ 6＋ 23a9， 即 3≤ a92時(shí) ， Lmax＝ L(9)＝ (9－ 3－ a)(12－ 9)2＝ 9(6－ a)． ② 當(dāng) 9≤ 6＋ 23a≤ 283 ， 即 92≤ a≤ 5 時(shí) ， Lmax＝ L??? ???6＋ 23a ＝ ??? ???6＋ 23a－ 3－ a ??? ???12－ ??? ???6＋ 23a2 ＝ 4??? ???3－ 13a3. ∴ Q(a)＝?????9（ 6－ a） ， 3≤ a92，4??? ???3－ 13a3， 92≤ a≤ 5. 故若 3≤ a92， 則當(dāng)每件售價(jià)為 9 元時(shí) ， 分公司一年的利潤(rùn) L最大 ， 最大值 Q(a)＝ 9(6－ a)(萬元 )；若 92≤ a≤ 5， 則當(dāng)每件售價(jià)為 ??? ???6＋ 23a 元時(shí) ， 分公司一年的利潤(rùn) L最大 ， 最大值 Q(a)＝ 4??? ???3－ 13a3(萬元 )． 8． (13 分 )已知函數(shù) f(x)＝ ln x－ ax. (1)若 a0， 試判斷 f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性； (2)若 f(x)在 [1， e]上的最小值為 32， 求 a的值； (3)若 f(x)x2在 (1， ＋ ∞ )上恒成立 ， 求 a的取值范圍． 思維啟迪： (1)求導(dǎo)數(shù) f′(x)→ 判斷 f′(x)0 或 f′(x)0→ 確定單調(diào)性． (2)根據(jù)單調(diào)性 → 求 f(x)在 [1， e]上的最小值 → 列方程求解． (3)f(x)x2→ axln x－ x3→ 求 xln x－ x3的最大值． 解 (1)由題意知 f(x)的定義域?yàn)?(0， ＋ ∞ )， 且 f′(x)＝ 1x＋ ax2＝ x＋ ax2 . ∵ a0， ∴ f′ (x)0， 故 f(x)在 (0， ＋ ∞ )上是單調(diào)遞增函數(shù)． (2)由 (1)可知 ， f′ (x)＝ x＋ ax2 . ① 若 a≥ － 1， 則 x＋ a≥ 0， 即 f′(x)≥ 0 在 [1， e]上恒成立 ，
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