第三篇第2講導數(shù)在研究函數(shù)中的應用(參考版)
2024-12-12 08:11本頁面
【正文】 富陽模擬 )已知函數(shù) f(x)＝－ x2＋ ax－ ln x(a∈ R)． (1)當 a＝ 3 時 ， 求函數(shù) f(x)在 ??? ???12， 2 上的最大值和最小值； (2)當函數(shù) f(x)在 ??? ???12， 2 上單調(diào)時 ， 求 a 的取值范圍． 解 (1)a＝ 3 時 ， f′ (x)＝－ 2x＋ 3－ 1x＝－ 2x2－ 3x＋ 1x ＝ － （ 2x－ 1）（ x－ 1）x ， 函數(shù) f(x)在區(qū)間 ??? ???12， 2 上僅有極大值點 x＝ 1， 故這個極大值點也是最大值點 ， 故函數(shù) f(x)在 ??? ???12， 2 上的最大值是 f(1)＝ 2. 又 f(2)－ f??? ???12 ＝ (2－ ln 2)－ ??? ???54＋ ln 2 ＝ 34－ 2ln 20， 故 f(2)f??? ???12 ， 故函數(shù)在 ??? ???12， 2 上的最小值為 f(2)＝ 2－ ln 2. (2)f′(x)＝－ 2x＋ a－ 1x， 令 g(x)＝ 2x＋ 1x， 則 g′(x)＝ 2－ 1x2， 則函數(shù) g(x)在 ??? ???12， 22 上遞減 ， 在 ??? ???22 ， 2 上遞增 ， 由 g??? ???12 ＝ 3，g(2)＝ 92， g??? ???22 ＝ 2 2， 故函數(shù) g(x)在 ??? ???12， 2 的值域為 ??? ???2 2， 92 . 若要 f′(x)≤ 0 在 ??? ???12， 2 上恒成立 ， 即 a≤ 2x＋ 1x在 ??? ???12， 2 恒成立 ， 只要 a≤ 2 2； 若要 f′(x)≥ 0 在 ??? ???12， 2 上恒成立 ， 即 a≥ 2x＋ 1x在 ??? ???12， 2 上恒成立 ， 只要 a ≥ 92， 即 a 的取值范圍是 (－ ∞ ， 2 2 ]∪ ??? ???92， ＋ ∞ . 特別提醒： 教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設計 深圳調(diào)研 )設函數(shù) f(x)＝ ln x－ 12ax2－ bx， 若 x＝ 1 是 f(x)的極大值點 ， 則a 的取值范圍為 ________． 解析 f(x)的定義域為 (0， ＋ ∞ )， f′ (x)＝ 1x－ ax－ b， 由 f′(1)＝ 0， 得 b＝ 1－ a. ∴ f′ (x)＝ 1x－ ax＋ a－ 1＝ －（ ax＋ 1）（ x－ 1）x . ① 若 a≥ 0， 當 0x1 時 ， f′(x)0， 此時 f(x)單調(diào)遞增； 當 x1 時 ， f′ (x)0， 此時 f(x)單調(diào)遞減； 所以 x＝ 1 是 f(x)的極大值點． ②
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