20xx新人教a版高中數(shù)學必修一212第2課時指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應用學案(參考版)
2024-12-11 21:18本頁面
【正文】 第 2 課時 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應用 [學習目標 ] .題． [知識鏈接 ] 1．函數(shù) y＝ ax(a＞ 0，且 a≠1) 恒過點 (0,1)，當 a＞ 1時，單調(diào) 遞增 ，當 0＜ a＜ 1時，單調(diào) 遞減． 2．復合函數(shù) y＝ f(g(x))的單調(diào)性：當 y＝ f(x)與 u＝ g(x)有相同的單調(diào)性時，函數(shù) y＝ f(g(x))單調(diào) 遞增 ，當 y＝ f(x)與 u＝ g(x)的單調(diào)性相反時， y＝ f(g(x))單調(diào) 遞減 ，簡稱為 同增異減． [預習導引 ] 1．函數(shù) y＝ ax與 y＝ a－ x(a＞ 0，且 a≠1) 的圖象關于 y軸 對稱． 2．形如 y＝ af(x)(a＞ 0，且 a≠1) 函數(shù)的性質(zhì) (1)函數(shù) y＝ af(x)與函數(shù) y＝ f(x)有 相同 的定義域． (2)當 a＞ 1時，函數(shù) y＝ af(x)與 y＝ f(x)具有 相同 的單調(diào)性；當 0＜ a＜ 1時，函數(shù) y＝ af(x)與函數(shù) y＝ f(x)的單調(diào)性 相反． 3．形如 y＝ kax(k∈ R，且 k≠0 ， a＞ 0，且 a≠1) 的函數(shù)是一 種 指數(shù)型 函數(shù)，這是一種非常有用的函數(shù)模型． 4．設原有量為 N，每次的增長率為 p，經(jīng)過 x次增長，該量增長到 y，則 y＝ N(1＋ p)x(x∈ N)． 要點一 利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小 例 1 比較下列各組數(shù)的大小： (1)－ π 與 － 3； (2)－ 3與 ； (3) . 解 (1)由 于指數(shù)函數(shù) y＝ R 上單調(diào)遞增，而－ π ＜－ 3，所以 － π ＜ － 3. (2)因為函數(shù) y＝ R 上單調(diào)遞減，而 2－ 3≈ 9 ＜ ，所以 － 3＞ . (3)因為 y＝ R 上單調(diào)遞減，所以 ＞ ；又在 y 軸右側(cè)，函數(shù) y＝ y＝ ，所以 ＞ ，所以 ＞ . 規(guī)律方法 ，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷． 2．對于冪值，若底數(shù)不相同，則首先考慮能否化為同底數(shù)，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果；不能化成同底數(shù)的，要考慮引進第三個數(shù) (如 0 或 1等 )分別與之比較，借助中間值比較． 跟蹤演練 1 已知 a＝ ， b＝ ， c＝ ，則 a， b， c 的大小關系是 ( ) A． a＞ b＞ c B． b＞ a＞ c C． c＞ b＞ a D． c＞ a＞ b 答案 D 解析 先由函數(shù) y＝ ，再用 “1” 作為中間量比較 大小． 要點二 指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性 例 2 判斷 f(x)＝ ??? ???13 x2－ 2x的單調(diào)性，并求其值域． 解 令 u＝ x2－ 2x，則原函數(shù)變?yōu)?y＝ ??? ???13 u. ∵ u＝ x2－ 2x＝ (x－ 1)2－ 1 在 (－ ∞ ， 1]上遞減，在 [1，＋ ∞) 上遞增，又 ∵ y＝ ??? ???13 u 在 (－ ∞ ，＋∞) 上遞減， ∴ y＝ ??? ???13 xx 22? 在 (－ ∞ ， 1]上遞增，在 [1，＋ ∞) 上遞減． ∵ u＝ x2－ 2x＝ (x－ 1)2－ 1≥ － 1， ∴ y＝ ??? ???13 u， u∈[ － 1，＋ ∞) ， ∴0 ＜ ??? ???13 u≤ ??? ???13 － 1＝ 3， ∴ 原函數(shù)的值域為 (0,3]． 規(guī)律方 法 y＝ af(x)(a＞ 0，且 a≠1) 的單調(diào)性由兩點決定，一是底數(shù) a＞ 1還是0＜ a＜ 1；二是 f(x)的單調(diào)性，它由兩個函數(shù) y＝ au， u＝ f(x)復合而成． 2．求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成 y＝ f(u)
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