高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用綜合測(cè)試(參考版)
2024-12-09 06:26本頁(yè)面
【正文】 重慶文， 19)已知函數(shù) f(x)＝ x4＋ ax－ lnx－ 32，其中 a∈ R，且曲線 y＝ f(x)在點(diǎn) (1， f(1))處的切線垂直于 y＝ 12x. (1)求 a的值； (2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值． [解析 ] (1)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?(0，＋ ∞) ， f′( x)＝ 14－ ax2－ 1x，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，且切線與 y＝ 12x垂直． 得 f′(1) ＝ 14－ a－ 1＝－ 2， ∴ a＝ 54. (2)由 (1)知 f(x)＝ x4＋ 54x－ lnx－ 32， ∴ f′( x)＝ 14－ 54x2－ 1x＝ x2－ 4x－ 54x2 . 令 f′( x)＝ 0解得 x＝－ 1或 5，－ 1不在定義域之內(nèi)故舍去． ∴ 當(dāng) x∈ (0,5)， f′( x)0， ∴ f(x)在 (0,5)遞減． 當(dāng) x∈ (5，＋ ∞) ， f′( x)0， ∴ f(x)在 (5，＋ ∞) 遞增． ∴ f(x)的增區(qū)間為 (5，＋ ∞) ，減區(qū)間為 (0,5) ∴ f(x)在 x＝ 5時(shí)取極小值 f(5)＝ 54＋ 14－ ln5－ 32＝－ ln5. f(x)＝ ex－ ax－ 2. (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若 a＝ 1， k為整數(shù)，且當(dāng) x0時(shí)， (x－ k)f ′( x)＋ x＋ 10，求 k的最大值． [分析 ] (1)先確定函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)函數(shù) f ′( x)，因不確定 a 的正負(fù)，故應(yīng)討論，結(jié)合 a 的正負(fù)分別得出在每一種情況下 f ′( x)的正負(fù)，從而確立單調(diào)區(qū)間； (2)分 離參數(shù) k，將不含有參數(shù)的式子看作一個(gè)新函數(shù) g(x)，將求 k 的最大值轉(zhuǎn)化為求 g(x)的最值問(wèn)題． [解析 ] (1)f(x)的定義域?yàn)?(－ ∞ ，＋ ∞) ， f ′( x)＝ ex－ A． 若 a≤0 ，則 f ′( x)0，所以 f(x)在 (－ ∞ ，＋ ∞) 單調(diào)遞增． 若 a0，則當(dāng) x∈ (－ ∞ ， lna)時(shí)， f ′( x)0； 當(dāng) x∈ (lna，＋ ∞) 時(shí)， f ′( x)0， 所以 f(x)在 (－ ∞ ， lna)單調(diào)遞減，在 (lna，＋ ∞) 單調(diào)遞增． 綜上， a≤0 時(shí) f(x)增區(qū)間 (－ ∞ ，＋ ∞) a0時(shí) f(x)增區(qū)間 (lna，＋ ∞) ，減區(qū)間 (－ ∞ ， lna) (2)由于 a＝ 1，所以 (x－ k)f ′( x)＋ x＋ 1＝ (x－ k)(ex－ 1)＋ x＋ 1. 故當(dāng) x0時(shí)， (x－ k)f ′( x)＋ x＋ 10等價(jià)于 kx＋ 1ex－ 1＋ x (x0)． ① 令 g(x)＝ x＋ 1ex－ 1＋ x， 則 g′( x)＝ － xex－ 1x－ 2＋ 1＝ex x－ x－x－ 2 . 由 (1)知，函數(shù) h(x)＝ ex－ x－ 2在 (0，＋ ∞) 單調(diào)遞增．而 h(1)0， h(2)0，所以 h(x)在 (0，＋ ∞) 存在唯一的零點(diǎn)．故 g′( x)在 (0，＋ ∞) 存在唯一的零點(diǎn)．設(shè)此零點(diǎn)為 α ，則α ∈ (1,2)． 當(dāng) x∈ (0， α )時(shí)， g′( x)0； 當(dāng) x∈ (α ，＋ ∞) 時(shí)， g′( x)0. 所以 g(x)在 (0，＋ ∞) 的最小值為 g(α )． 又由 g′( α )＝ 0，可得 eα ＝ α ＋ 2， 所以 g(α )＝ α ＋ 1∈ (2,3)． 由于 ① 式等價(jià)于 kg(α )，故整數(shù) k的最大值為 2. [點(diǎn)評(píng) ] 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及參數(shù)的取值范圍的求法．利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍時(shí)，經(jīng)常需將參數(shù)分離出來(lái)，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題
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