高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第一章推理與證明綜合測試(參考版)
2024-12-09 06:26本頁面
【正文】 ? 2k＋ 32k＋ 2＝ k＋2k＋ ＝ k＋2＋ k＋ ＋ 1k＋ ＝ k＋ ＋ 1＋ 1k＋ k＋ ＋ 1， 所以當(dāng) n＝ k＋ 1時(shí)，不等式也成立． 由 ①② 可得，不等式對任何 n∈ N＋ 都成立， 即 b1＋ 1b1 2k＋ 12k 76 2k＋ 12k k＋ n＝ k＋ 1時(shí)， 左邊＝ 32 76 2n＋ 12n n＋ 1. ① 當(dāng) n＝ 1時(shí)，左邊＝ 32，右邊＝ 2，因?yàn)?32 2，所以不等式成立． ② 假設(shè)當(dāng) n＝ k(k∈ N＋ )時(shí)，不等式成立， 即 32 54? 54?bn＋ 1bn n＋ 1成立． [解析 ] (1)因?yàn)閷θ我?n∈ N＋ ，點(diǎn) (n， Sn)均在函數(shù) y＝ bx＋ r(b0 且 b≠1 ， b， r均為常數(shù) )的圖像上，所以 Sn＝ bn＋ n＝ 1時(shí)， a1＝ S1＝ b＋ r， 當(dāng) n≥2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ bn＋ r－ (bn－ 1＋ r)＝ bn－ bn－ 1＝ (b－ 1)bn－ 1， 又因?yàn)?{an}為等比數(shù)列，所以 r＝－ 1，公比為 b， an＝ (b－ 1)bn－ 1. (2)證明：當(dāng) b＝ 2時(shí)， an＝ (b－ 1)bn－ 1＝ 2n－ 1， bn＝ 2(log2an＋ 1)＝ 2(log22n－ 1＋ 1)＝ 2n， 則 bn＋ 1bn＝ 2n＋ 12n ，所以 b1＋ 1b1b2＋ 1b2 kBP＝－b2a2. 故在橢圓 x2a2＋y2b2＝ 1(ab0)中，長軸兩個(gè)端點(diǎn)為 A， B， P為異于 A， B的橢圓上的任意一點(diǎn)，則有 kAP kBP＝ y－ y0x－ x0 kBC＝－ x2a2＋y2b2＝ 1(ab0)中有什么樣的結(jié)論？并加以證明． [解析 ] 類比得到的結(jié)論是：在橢圓 x2a2＋y2b2＝ 1(ab0)中， A， B分別是橢圓長軸的左右 端點(diǎn)，點(diǎn) P(x， y)是橢圓上不同于 A， B的任意一點(diǎn)，則 kAP AC2. 又 BC2＝ AB2＋ AC2， ∴ 1AD2＝ AB2＋ AC2AB2 DC DC ＝ BC2BD BC， AC2＝ BC 陜西文， 14)已知 f(x)＝ x1＋ x， x≥0 ，若 f1(x)＝ f(x)， fn＋ 1(x)＝ f(fn(x))，n∈ N＋ ， 則 f2021(x)的表達(dá)式為 ________． [答案 ] x1＋ 2021x [解析 ] f1(x)＝ f(x)＝ x1＋ x， f2(x)＝ f(f1(x))＝x1＋ x1＋ x1＋ x＝ 11＋ 2x， f3(x)＝ f(f2(x))＝x1＋ 21＋ x1＋ 2x＝ x1＋ 3x， ? ， f2021(x)＝ x1＋ ，找出解析式． 三、解答題 (本大題共 6小題，共 75分，前 4題每題 12 分， 20 題 13分， 21題 14分 ) 16．已知 a0， b0，求證： ab＋ ba≥ a＋ b. [證明 ] 證法一： (綜合法 ) ∵ a0， b0， ∴ ab＋ b≥2 a，當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b時(shí)取等號，同理： ba＋ a≥2 b，當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b時(shí)取等號． ∴ ab＋ b＋ ba＋ a≥2 a＋ 2 b， 即 ab＋ ba≥ a＋ b. 證法二： (分析法 ) 要證 ab＋ ba≥ a＋ b， 只需證： a a＋ b b≥ a b＋ b a， 只需證： a a＋ b b－ a b－ b a≥0 ， 而 a( a－ b)－ b( a－ b)＝ ( a＋ b)( a－ b)2≥0 ， 當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b時(shí)取等號， 所以 ab＋ ba≥ a＋ b. 證法三： (反證法 ) 假設(shè)當(dāng) a0， b0時(shí)， ab＋ ba a＋ b. 由 ab＋ ba a＋
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