【正文】 α（k∈Z）的各三角函數(shù)值，當(dāng)k為偶數(shù)時，得α的同名函數(shù)值；當(dāng)k為奇數(shù)時，得α的余名函數(shù)值．然后，均在前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．為了便于記憶，也可編成口訣：“奇變偶不變，符號看象限”．。90176。177。177。177。177。＋α）＝sinα，sin（90176。＋α）＝x′，sin（90176。＋α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)有著怎樣的關(guān)系呢？學(xué)生探究：經(jīng)過獨立探求后，有學(xué)生可能會得到如下結(jié)果：設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P（x，y），角90176。＋30176。－60176。的整數(shù)倍加、減α．但是，在解題過程中，還會遇到另外的情況，如前面遇到的120176。α，360176。（k∈Z），－α，180176。cot3α形式，就須先求得cosα的值．由于不能確定角α所在象限，解題過程將變得煩鎖．以此提醒學(xué)生注意選取合理形式解決問題．四、拓展延伸教師出示問題：前面我們利用三角函數(shù)的定義及對稱性研究了角α＋kα，360176。（k∈Z），－α，180176。－α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù)．那么，在轉(zhuǎn)化過程中，發(fā)生了哪些變化？這種變化是否存在著某種規(guī)律？引導(dǎo)學(xué)生進行如下概括：α＋k177。360176。＋（－α），即：先把180176。－α與角α的終邊的位置關(guān)系不容易判斷．這時，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助公式二，把180176。＋α）＝從而得到：．，cos（180176。＋α的終邊與單位圓的交點P′與點P關(guān)于原點O對稱．由此可知，點P′的坐標(biāo)是（－x，－y）．又∵單位圓的半徑r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y(tǒng)，tanα＝（180176。－α）與cosα的關(guān)系如何？你能證明自己的結(jié)論嗎？由學(xué)生獨立完成下述推導(dǎo)： 設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P（x，y）．由于角180176。＋α），cos（180176。）＝cos60176。＝cos（360176。）＝－cos60176。＝cos（180176。）＝－cos60176。＝cos（180176。300176。范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值，即可實現(xiàn)“把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值”的目標(biāo)．例如，能否將120176。．如果能夠把90176?！?60176。α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在掌握前五組誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)上進一步探求新的關(guān)系式，從而使學(xué)生在頭腦中形成完整的三角函數(shù)的認知結(jié)構(gòu)．教學(xué)設(shè)計一、問題情境 教師提出系列問題，現(xiàn)在角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，能否把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值呢？＝390176。＋α，270176。～360176。＋α與－α的誘導(dǎo)公式是最基本的，也是最重要的．在推導(dǎo)這兩組公式時，應(yīng)放手讓學(xué)生獨立探索，尋求“180176。－α，360176。＋α，180176。且sinα－cosα＝－cosα｜，因此｜tanα｜＞1，只能取tanα＝2．＜0，∴sinα＜0，cosα＜0，且｜sinα｜＞｜強調(diào)：非等價變形是解法1出錯的關(guān)鍵！誘導(dǎo)公式 教材分析這節(jié)內(nèi)容以學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)值為基礎(chǔ)，利用單位圓和三角函數(shù)的定義，導(dǎo)出三角函數(shù)的五組誘導(dǎo)公式，即有關(guān)角k求tanα的值．解法1：由sinα－cosα＝－，得反思：（1）解法1的結(jié)果比解法2的結(jié)果多了一個，看來產(chǎn)生了“增根”，那么，是什么原因產(chǎn)生了增根呢？（2）當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了由sinα－cosα＝－α的范圍變大了時，教師再點撥：怎樣才能使平方變形是等價的呢？ 由學(xué)生得出如下正確答案：得到sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝的過程中，∵180176。）＝tana，（k∈Z）．五、應(yīng)用與深化 ［例 題］．：角α為第三象限角的充要條件是sinθ＜0，并且tanθ＞0． 證明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ為第三象限角．∵sinθ＜0成立，所以θ的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的負半軸上． 又∵tanθ＞0成立，∴θ角的終邊可能位于第一或第三象限． ∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的終邊只能位于第三象限．必要性：若θ為第三象限角，由三角函數(shù)值在各個象限的符號，知sinθ＜0，tanθ＞0． 從而結(jié)論成立． ［練習(xí)］，問：在sina，cosa，tana，tan取負值？為什么？中， 的值域是 ____________ ．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式教材分析這節(jié)課主要是根據(jù)三角函數(shù)的定義，導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式sina＋cosa＝1與＝1與，并初步進行這些公式的兩類基本應(yīng)用．教學(xué)重點是公式sina＋cosa的推導(dǎo)及以下兩類基本應(yīng)用：2（1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一個，求其余兩個三角函數(shù)．（2）化簡三角函數(shù)式及證明簡單的三角恒等式．其中，已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時，正負號的選擇是本節(jié)的一個難點，正確運用平方根及象限角的概念是突破這一難點的關(guān)鍵；證明恒等式是這節(jié)課的另一個難點．課堂上教師應(yīng)放手讓學(xué)生獨立解決問題，優(yōu)化自己的解題過程．教學(xué)目標(biāo)、發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學(xué)生的動手實踐、探索、研究能力．，并能初步運用它們解決一些三角函數(shù)的求值、化簡、證明等問題，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，邏輯推理能力．，揭示事物之間的普遍聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義世界觀．任務(wù)分析 這節(jié)課的主要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義探索出同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式：sin2a＋cos2a＝1及，并進行初步的應(yīng)用．由于該節(jié)內(nèi)容比較容易，所以，課堂上無論是關(guān)系式的探索還是例、習(xí)題的解決都可以放手讓學(xué)生獨立完成，即由學(xué)生自己把要學(xué)的知識探索出來，并用以解決新的問題．必要時，教師可以在以下幾點上加以強調(diào)：（1）“同角”二字的含義．（2）關(guān)系式的適用條件．（3）化簡題最后結(jié)果的形式．（4）怎樣優(yōu)化解題過程．教學(xué)設(shè)計一、問題情境教師出示問題：上一節(jié)內(nèi)容，我們學(xué)習(xí)了任意角α的六個三角函數(shù)及正弦線、余弦線和正切線，你知道它們之間有什么聯(lián)系嗎？你能得出它們之間的直接關(guān)系嗎？二、建立模型，并探索它們之間的關(guān)系在角α的終邊上任取一點P（x，y），它與原點的距離是r（r＞0），則角α的六個三角函數(shù)值是引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析和討論，消元（消去x，y，r），從而獲取下述基本關(guān)系．（1）平方關(guān)系：sin2a＋cos2a＝1．（2）商數(shù)關(guān)系：t：說明：①當(dāng)放手讓學(xué)生推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時，部分學(xué)生可能會利用三角函數(shù)線，借助勾股定理及相似三角形的知識來得出結(jié)論．對于這種推導(dǎo)方法，教師也應(yīng)給以充分肯定，并進一步引導(dǎo)學(xué)生得出｜sinα｜＋｜cosα｜≥1．②除以上兩個關(guān)系式外，也許部分學(xué)生還會得出如下關(guān)系式：.教師點撥：這些關(guān)系式都很對，但最基本的還是（1）和（2），故為了減少大家的記憶負擔(dān)，只須記?。?）和（2）即可．以上關(guān)系式均為同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式．教師啟發(fā)：（1）對“同角”二字，大家是怎樣理解的？（2）這兩個基本關(guān)系式中的角α有沒有范圍限制？（3）自然界的萬物都有著千絲萬縷的聯(lián)系，大家只要養(yǎng)成善于觀察的習(xí)慣，也許每天都會有新的發(fā)現(xiàn)．剛才我們發(fā)現(xiàn)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，那么這些關(guān)系式能用于解決哪些問題呢？三、解釋應(yīng)用 ［例 題］＝，且α是第二象限角，求角α的余弦值和正切值．＝－，且α是第二象限角，求角α的正弦和余弦值．說明：這兩個題是關(guān)系式的基本應(yīng)用，應(yīng)讓學(xué)生獨立完成．可選兩名同學(xué)到黑板前板書，以便規(guī)范解題步驟．變式1 在例2中若去掉“且α是第二象限角”，該題的解答過程又將如何？ 師生一起完成該題的解答過程．解：由題意和基本關(guān)系式，列方程組，得由②，得sinα＝－cosα，代入①整理，得6cos2α＝1，cos2α＝．∵tanα＝－＜０，∴角α是第二或第四象限角．當(dāng)α是第二象限角時，cosα＝－，代入②式，得；當(dāng)α是第四象限角時，cosα＝，代入②式，：由平方關(guān)系求值時，要涉及開方運算，自然存在符號的選取問題．由于本題沒有具體指明α是第幾象限角，因此，應(yīng)針對α可能所處的象限，分類討論．變式2 把例2變?yōu)椋阂阎猼anα＝－，求的值．解法1：由tanα＝－及基本關(guān)系式可解得針對兩種情況下的結(jié)果居然一致的情況，教師及時點撥：觀察所求式子的特點，看能不能不通過求sinα，cosα的值而直接得出該分式的值． 學(xué)生得到如下解法：由此，引出變式3．已知：tanα＝－，求（sinα－cosα）2的值．有了上一題的經(jīng)驗，學(xué)生會得到如下解法：教師歸納、啟發(fā)：這個方法成功地避免了開方運算，因而也就避開了不必要的討論．遺憾的是，因為它不是分式形式，所以解題過程不像“變式2”那樣簡捷．那么，能解決這一矛盾嗎？學(xué)生得到如下解法：教師引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)：（1）由于開方運算一般存在符號選取問題，因此，在求值過程中，若能避免開方的應(yīng)盡量避免．（2）當(dāng)式子為分式且分子、分母都為三角函數(shù)的n（n∈N且n≥1）次冪的齊次式時，采用上述方法可優(yōu)化解題過程．［練習(xí)］當(dāng)學(xué)生完成了以上題目后，教師引導(dǎo)學(xué)生討論如下問題：（1）化簡題的結(jié)果一定是“最簡”形式，對三角函數(shù)的“最簡”形式，你是怎樣理解的？（2）關(guān)于三角函數(shù)恒等式的證明，一般都有哪些方法？你是否發(fā)現(xiàn)了一些技巧？四、拓展延伸教師出示問題，啟發(fā)學(xué)生