三角函數(shù)公式及證明(參考版)
2024-10-15 00:28本頁(yè)面
【正文】 cos A。判定定理二(角邊判別法):一當(dāng)absinA時(shí)①當(dāng)ba且cosA0(即A為銳角)時(shí),則有兩解；②當(dāng)ba且cosA0(即A為銳角)時(shí),則有一解；④當(dāng)b=a且cosA①當(dāng)cosA0(即A為銳角)時(shí),則有一解；②當(dāng)cosA解三角形公式例如：已知△ABC的三邊之比為5：4：3， 設(shè)三角形的三邊為a,b,c且a:b:c=5:4:：∠ A=0所以∠A=90176。)判定定理一(兩根判別法)：若記m(c1,c2)為c的兩值為正根的個(gè)數(shù)，c1為c的表達(dá)式中根號(hào)前取加號(hào)的值，c2為c的表達(dá)式中根號(hào)前取減號(hào)的值①若m(c1,c2)=2,則有兩解；②若m(c1,c2)=1,則有一解；③若m(c1,c2)=0,則有零解(即無(wú)解)。平面幾何證法在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所對(duì)的邊為c，∠B所對(duì)的邊為b，∠A所對(duì)的邊為a則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BCBD=acosB*c根據(jù)勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(acosB*c)^2b^2=(sinB*c)^2+a^22ac*cosB+(cosB)^2*c^2b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^22ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^22ac*cosBcosB=(c^2+a^2b^2)/2ac編輯本段余弦定理的作用(1)已知三角形的三條邊長(zhǎng)，可求出三個(gè)內(nèi)角；(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊.(3)已知三角形兩邊及其一邊對(duì)角，可求其它的角和第三條邊。b+b(a+b)∴c^2=a編輯本段余弦定理證明平面向量證法∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線代表兩個(gè)鄰邊大小）∴ccos B+bcos A+acos C+cbac編輯本段余弦定理性質(zhì)對(duì)于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c 三角為A，B，C，則滿(mǎn)足性質(zhì)——a^2 = b^2 + c^22sinβ＝－[cos（α＋β）－cos（α－β）]2化asinα 177。sinβ＝[sin（α＋β）－sin（α－β）]21cosα cos—－—22α＋βα－β cosα－cosβ＝－2sin—－－cosβ＝[sin（α＋β）＋sin（α－β）]21sinα－sinβ＝2cos—－－tanβ半角的正弦、余弦和正切公式二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanα tan2α＝—————1－tan2α三角函數(shù)的和差化積公式α＋βα－β sinα＋sinβ＝2sin—－－secα＝1商的關(guān)系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方關(guān)系： sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α誘導(dǎo)公式sin（－α）＝－sinαsin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα cos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotαsin（3π/2－α）＝－cosα sinαsin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα cot（2π－α）＝－cotαcos（3π/2－α）＝－tan（2π－α）＝－tanα tan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（2kπ＋α）＝sinαsin（3π/2＋α）＝－cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanαcot（π/2＋α）＝－tanα cot（π＋α）＝cotα兩角和與差的三角函數(shù)公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβ tan（α＋β）＝——————1－tanα cotα＝1 sinα 就這樣，最初的以太陽(yáng)和星星為目標(biāo)的天文觀測(cè)，以及為這種觀測(cè)服務(wù)的原始的三角測(cè)量就應(yīng)運(yùn)而生了。那時(shí)，人們白天拿太陽(yáng)作路標(biāo)，夜里則以星星為指路燈。在當(dāng)時(shí)，這種遷移和旅行是一種冒險(xiǎn)的行動(dòng)。早期的解三角形是因天文觀測(cè)的需要而引起的。古希臘文里沒(méi)有這個(gè)字，原因是當(dāng)時(shí)三角學(xué)還沒(méi)有形成一門(mén)獨(dú)立的科學(xué)，而是依附于天文學(xué)。最先使用Trigonometry這個(gè)詞的是皮蒂斯楚斯(Bartholomeo Pitiscus,15161613)，他在1595年出版一本著作《三角學(xué):解三角學(xué)的簡(jiǎn)明處理》，創(chuàng)造了這個(gè)新詞。起源“三角學(xué)”，英文Trigonometry，法文Trigonometrie，德文Trigonometrie，都來(lái)自拉丁文 Trigonometria。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。它包含六種基本函數(shù)：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全。它們的本質(zhì)是任意角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。α及3π/2177。1sin(a)= [sin(a/2)cos(a/2)]^2。sin(a)bsin(a)+b tan(π/3+a)tanβ)和差化積sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θφ)/2]sinθsinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θφ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θφ)/2]cosθcosφ =2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θφ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1tanAtanB)tanAtanB=sin(AB)/cosAcosB=t
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