高一數(shù)學(xué)線面垂直強(qiáng)化訓(xùn)練題目(參考版)
2024-10-14 06:20本頁(yè)面
【正文】 =2B∴PM=PC2+CM2=+12P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側(cè)棱PA⊥底面ABCD（1）當(dāng)a為何值時(shí)，BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論（2）當(dāng)a=4時(shí)，求證：BC邊上存在一點(diǎn)M，使得PM⊥（3）若在BC邊上至少存在一點(diǎn)M，使PM⊥DM，求a的取值范圍分析：本題第（1）問(wèn)是尋求BD⊥平面PAC的條件，即BD垂直平面PAC內(nèi)兩相交直線，易知BD⊥PA，問(wèn)題歸結(jié)為a為何值時(shí)，BD⊥AC，從而知ABCD為正方形4。sin60176。cos60176。PC⊥平面ABC，PC=4，M為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM的最小值解：∵P是定點(diǎn)，要使PM的值最小，只需使PM⊥AB即可 要使PM⊥AB，由于PC⊥平面ABC，∴只需使CM⊥AB即可∵∠BAC=60176。即DM⊥AM又PA⊥底面ABCD，由三垂線定理得，PM⊥DM，故當(dāng)a=4時(shí)，BC邊的中點(diǎn)M使PM⊥DM（3）解：設(shè)M是BC邊上符合題設(shè)的點(diǎn)M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM因此，M點(diǎn)應(yīng)是以AD為直徑的圓和BC邊的一個(gè)公共點(diǎn)，則AD≥2AB，即a≥4點(diǎn)評(píng)：本題的解決中充分運(yùn)用了平面幾何的相關(guān)知識(shí)因此，立體幾何解題中，要注意有關(guān)的平面幾何知識(shí)的運(yùn)用事實(shí)上，立體幾何問(wèn)題最終是在一個(gè)或幾個(gè)平面中得以解決的在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=22，tan∠MOC=，22∴∠AA1O=∠MOC，則∠A1OA+∠MOC=90A1O⊥OM∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面9S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB邊的高CD上，點(diǎn)M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求證：SC⊥截面證明：∵CD是SC在底面ABC上的射影，AB⊥CD，∴AB⊥SCMD∵∠MDC=∠NSC，∴DM⊥SCAB∩DM=D，∴SC⊥截面MABABC中，∠ACB=90176。+45176。平面A1ACC1，∴A1O⊥DB（1）解：當(dāng)a=2時(shí)，ABCD為正方形，則BD⊥AC又∵PA⊥底面ABCD，BD204。（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，\D1F⊥平面AED，∵D1F204。0+1180。為直角證明面面垂直例4在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CD的中點(diǎn)（1）求證：AD⊥D1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明平面AED⊥平面A1FD1分析：涉及正方體中一些特殊的點(diǎn)、線、面的問(wèn)題，建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)解，不僅容易找到解題方向，而且坐標(biāo)也簡(jiǎn)單，此時(shí)“垂直”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩向量數(shù)量積為0”的問(wèn)題，當(dāng)然也可用其它的證證明：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，并設(shè)AB=2，則A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)uuuuruuur(1)AD=(0,2,0),D1F=(1,0,2)uuuruuuur\ ADD1F=01+21+0(2)=0, \AD⊥D1Fuuuruuuuruuuuruuur（2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，2），|AE|=，|D1F|=設(shè)AE與D1F的夾角為θ，則 cosθ1=2180。CA162。222。B162。A222。B162。222。AB^AC239。239。239。^A162。AB^面AA162。253。239。222。254。239。239。AB//AB162。253。AB204。252。B162。確定平面ba199。AAA162。AB^PC同理A、208。AB^面PQC222。253。222。AC^BQ239。222。BC^AQ239。254。AQ204。BC^面APQ252。254。253。BC204。BAC為銳角，同理DABC為銳角D。PB^AEFcos208。254。254。222。PB204。222。AF^PC239。239。面PAC239。253。239。254。PAAB為直徑222。254。BC204。題型講解證明線線垂直三垂線定理與平面的位置無(wú)關(guān)，即對(duì)水平位置、豎直位置、傾斜位置的平面都能用三垂線定理．下面我們通過(guò)實(shí)例來(lái)體驗(yàn)“三步曲”的具體應(yīng)用過(guò)程．例1(1)已知PA、PB、PC兩兩互相垂直，求證：P在平面ABC內(nèi)的射影O是△ABC的垂心．【思考與分析】 要證O是△ABC的垂心，我們需要證明AO⊥BC、BO⊥AC、CO⊥、BO、CO分別是AP、BP、CP在平面ABC上的射影，：①定線面：即面內(nèi)直線BC與基礎(chǔ)平面為底面ABC，②找三線：即垂線PO，斜線PA，射影AO，③證垂直：即AO⊥BC．同理可證其它兩條．證明：因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的射影為O，所以PO⊥平面ABC，連結(jié)AO且延長(zhǎng)交BC于D，則AO是PA在平面ABC上的射影．∵ AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC=P，∴ PA⊥平面PBC，又BC平面PBC，∴ AP⊥BC．根據(jù)三垂線定理的逆定理知，AD⊥BC，所以AD是△ABC中BC邊上
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