【正文】 在這里， 我要向他表示最真摯的感謝！ 感謝天津職業(yè)技術師范大學和自動化。在大學四年最后的時間里，路老師給與我的多方面的關心和幫助，使我增長了不少知識，同時，他嚴謹?shù)闹螌W作風、謙虛的治學態(tài)度和崇高的思想品質(zhì)亦給我留下了深刻的印象。 33 參考文獻 [1] 劉金琨 .先進 PID 控制 MATLAB 仿真（第二版） .北京：電子工業(yè)出版社， [2] 胡壽松 .自動控制原理（第四版） .北京：科學出版社， 20xx [3] 項國波 .時滯系統(tǒng)優(yōu)化控制 .北京：中國電力出版社， 20xx [4] 金晶，王德進 .滯后過程 PI 控制器性能設計圖解法 [J].天津科技大學學報， 20xx，24(1):5457. [5] 高存臣，袁付順，肖回敏 .時滯變結構控制系統(tǒng)：科學出版社 [6] 歐琳琳，張衛(wèi)東等 .一類時滯對象的 PID 控制器參數(shù)穩(wěn)定域計算 [J].控制與決策，20xx， 21(9):10201023 由于設計時間和個人水平經(jīng)驗所限，本課題尚需在以后的研究中進一步完善，建議在以下幾個方面進行后續(xù)工作 : 1. 本文只研究了在單變量時滯系統(tǒng) 下的 PID 參數(shù)穩(wěn)定域，可繼續(xù)將該方法應用于多變量時滯系統(tǒng)進行研究。該方法的特點在于無需復雜的數(shù)學計算，直接在參數(shù)空間繪制并確定相應的參數(shù)曲線，給出了完整的參數(shù)穩(wěn)定域和所有滿足相角裕度或幅值裕度的參數(shù)區(qū)域，為 PID控制器的參數(shù)整定提供了一種有效和靈活的方法。 本文針對一階線性時滯系統(tǒng)的 PID 的整定問題做了一些研究： 1. 首先簡要介紹了時滯系統(tǒng)的定義，產(chǎn)生原因以及簡要介紹時滯系統(tǒng)的解決方法，指出了本文的研究對象和方向：一階時滯系統(tǒng)的 PID 整定問題。 32 結束語 在工業(yè)生產(chǎn)過程中，往往不同程度的存在著時滯現(xiàn)象，或者對高階對象采用低階模型加時滯來近似描述。 一階 開環(huán)穩(wěn)定時滯系統(tǒng) 例 2 選取和實驗同樣的數(shù)據(jù)，考慮下面的一階穩(wěn)定時滯系統(tǒng) () 0 .2 1 sG s es ?? ? (32) 用 PID 控制器來整定。 一階開環(huán)不穩(wěn)定時滯系統(tǒng) 例 1 考慮下面的一階不穩(wěn)定時滯系統(tǒng) () 31 sG s es ?? ?? (31) 用 PID 控制器來整定。主要用到的數(shù)學工具是 MATLAB，通過 Matlab/Simulink 上的仿真結果來驗證方法的正確性。 28 3 一階時滯系統(tǒng)的 PID 控制器 Matlab/Simulink 仿真 前兩章通過理論公式分析設計出了時滯系統(tǒng) PID 控制曲線。 Step4：根據(jù)命題 1 和雅可比矩陣的行列式 (237)的符號判斷穩(wěn)定區(qū)域。 Step2：在式 (238)或 (240)的范圍內(nèi)選取 pK 值，然后，按 (239)在 ( ,idKK)平面對充分小的 ? 0 繪制 Y=0 時對應的不穩(wěn)定區(qū)域 。 圖 212 開環(huán)不穩(wěn)定對象階躍響應 根據(jù)以上討論，給出繪制 PID 參數(shù)穩(wěn)定域的算法如下 : 算法 3 確定 PID 參數(shù)穩(wěn)定域。取 pK =，相應的穩(wěn)定區(qū)域為如圖 211 所示的四邊形。此時，對象 (21)不穩(wěn)定。當比例增益 pK 超出上述范圍，鎮(zhèn)定PID 控制器不存在。 命題 3 對給定的開環(huán)不穩(wěn)定對象 (21)，鎮(zhèn)定 PID 控制器存在的充分必要條件為︱ T/? ︱ 。通過階躍響應來驗證所討論方法的正確性，如圖 210。取 pK =( pK =1/k)和 pK = 相應的穩(wěn)定區(qū)域分別為圖 29(a)和圖 29(b)的圖形。 給定 T=， ? =， k=1， ? =。 命題 2 對給定的開環(huán)穩(wěn)定對象 (21),使得定 PID 控制器存在的比例增益 pK 的范圍由下式確定 : 1 1 111 ( s in c o s )p TK a a akk ?? ? ? ? (240) 25 其中 1a 為方程 tan TaaT ??? ? 在區(qū)間 (0， ? )內(nèi)的解。 圖 28 穩(wěn)定區(qū)域 以下按開環(huán)穩(wěn)定對象和開環(huán)不穩(wěn)定對象給出具體確定 PID 參數(shù)穩(wěn)定域的方法。 1)根據(jù)式 (233)，觀察到當復變量 z 為正實數(shù)，即 x? ,y=0 時，式 (233)確定了 iK與 dK 之間的一個線性關系 diK aK b?? (239) 其中 2()1()1 1 ( )( ) ( )xa xTxbex k x????????? ???? ? ??? 固定 pK =1, ? =l,直線族 (239)可在 ( ,idKK)平面掃出不穩(wěn)定區(qū)域。由式 (234)和 (236)，得 2det 2 00, 0J k yy ?? ? ? ?? ? ? (237) 由式 ((234),以 pK ,? ,y 為參變量，解得 22( , ) c o s ( ) ( , ) s in ( )22( , ) s in ( ) ( , ) c o s ( ) ()pdi p dKA y y B y yKkyA y y B y yK K K yk? ? ? ???? ? ? ? ??????? ? ? ?(238) 其中 2( , ) (1 2 )( , ) [ (1 ) ]A y T y eB y T Ty e??????? ? ? ????? ? ? 24 由于特征方程 (233)的系數(shù)和 ? 均為實數(shù)，如果 z 是式 (233)的根，則其復共軛亦為根，所以只需考慮 [0, )y??。由隱函數(shù)存在定理可知，如雅可比矩陣 00( , , , , )i d prridiiid K K K yKKJKK ?????????????? ???????? (236) 非奇異，則由方程組 (235)可解得局部唯一連續(xù)解曲線 ( ( ), ( )idK y K y )。 令 z=jy，并將相應的 ? (jy)分解為實部和虛部，則式 (233)成為 ?(jy)= ( ) ( )riy j y??? 23 其中 2 2 22( ) [ ( 1 ) ] c o s ( ) ( 1 2 ) s i n ( ) ( )( ) ( 1 2 ) c o s ( ) [ ( 1 ) ] s i n ( ) 2r i p di p py T T y e y T y e y k K k K k K yy T y e y T T y e y k K y k K y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? (234) 由式 (234)可以看到 r? 與 i? 依賴于參數(shù) , , ,p i dK K K ? 和 y，記為 r? = r? ( pK , iK , dK ,? ,y) i? = i? ( pK , iK , dK ,? ,y) 基于以上表達式，給定參數(shù) pK 和 ? ，便可在參數(shù)空間 ( iK , dK )研 究閉環(huán)特征多項式 (233)的穩(wěn)定性。換句話說，考慮的是 s平面的相對穩(wěn)定度 ? 0 的問題。 C(s)為 PID 類型控制器，有 () ipdKC s K K ss? ? ? (229) 設計的目標是確定 PID 控制器參數(shù)集合 ( pK , iK ， dK )，使得圖 23 所示的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 PID 控制器參數(shù)穩(wěn)定域圖解法 接下來，本文研究 PID 控制器的參數(shù)穩(wěn)定圖解法 [27,28]。該方法的特點在于無需復雜的數(shù)學計算，直接在參數(shù)空間繪制并確定 22 相應的參數(shù)曲線，給出了完整的參數(shù)穩(wěn)定域和所有滿足相角裕度和 /或幅值裕度的參數(shù)區(qū)域，為 PI 控制器的參數(shù)整定提供了一種有效和靈活的方法。實際設計時，可根據(jù)性能的要求，靈活地選取控制器的參數(shù)。兩區(qū)域的交點約為 ( pK ， iK )=(7 , )，階躍響應如圖 27 所示。采用與例 1 同樣的方法與步驟，可以繪制出相應的參數(shù)穩(wěn)定區(qū)域，以及幅值裕度曲線和相角裕度曲線，如圖 26 所示。給定 m? =60176。此時， T0。如果想進一步加快響應的速度，可在相角裕度曲線上取對應較大的一點 ( pK ， iK )=( , )，相應的階躍響應如圖 25 中曲線 3 所示。此時的單位階躍響應如圖 23 中曲線 1 所示。曲線的右側(cè)為滿足 h3 的參數(shù)區(qū)域。的參數(shù)區(qū)域。按算法 2，繪制相角裕度曲線，如圖 22 中點劃線所示。再結合 (17)式給出的約束，最終確定的參數(shù)穩(wěn)定區(qū)域如圖 24 陰影部分所示。按算法 1，在 ( pK ， iK )平面上，穩(wěn)定邊界線的起點為 (1/k，0)=(1, 0)。 例 1 開環(huán)穩(wěn)定情形。這樣做可以減少設計系統(tǒng)過程中反復修改的次數(shù)和時間，從而達到實現(xiàn)快速的開發(fā)控制系統(tǒng)的目的。 (7)特別具有自動控制軟件工具包。 (6)非常強大的圖形表達功能。 Matlab 能使得矩陣的存取變得方便，其基本元素也是不用定義維數(shù)的矩陣。在 Matlab 中賦值語句是最基本的語句結構，而函數(shù)是最重要的成 分。而且 Matlab 可以很方便與其他語言進行混編。 (3)可擴展性強。其次， Matlab 程序設計語言把編輯、編譯、連接、執(zhí)行、調(diào)試等多個步驟融合在一起。 (2)界面友好、簡單易學。它是一種面向科學與工程計算的高級語言，可以用數(shù)學形式的語言編寫源程序。程序設計語言是美國MATHWORKS 公司于 1982 年推出的一套高性能的數(shù)值計算和可視化數(shù)學軟件，集數(shù)值分析、矩陣運算、信號處理和圖形顯示于一體，廣泛應用于數(shù)值計算、算法開發(fā)、數(shù)學建模、系統(tǒng)仿真、數(shù)據(jù)分析處理及科學和工程上繪圖、控制系統(tǒng)開發(fā)，包括建立用戶界面。 如果要同時滿足相角裕度和幅值裕度的要求，可將兩條曲線畫在同一張圖上，其交點即為所求。 Step 2 對足夠大的 ? ，利用 (226)式 (或 (227)式 )，繪制相角裕度曲線 (或幅值裕度曲線 )。 算法 2 確定相角裕度和幅值裕度。因此，類似于 (219)式的推導，對相角裕度有 2121c o s( ) sin ( )c o s( ) sin ( )mmpmmiTKkTKk? ?? ? ? ?? ??? ?? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ?? (225) 而對幅值裕度的情形有 2222c o s ( ) s in ( )c o s ( ) s in ( )piTKhkTKhk? ?? ? ???? ?? ? ??????? (226) 18 兩種情形下，均有 det J0。具體求解的方法如下 : 由相角裕 度和幅值裕度的定義，有 ()(1 ) mjp c i jcck jK K e ej jT ?? ???? ? ?? ?? (221) 和 () 1(1 )gjp g iggk jK K ej jT h????? ?? ??? (222) 其中 g? 為相角穿越頻率， c? 為幅值穿越頻率。 具體仿真算例見第 節(jié)。 Step 2 利用命題 1，結合 (220)式，判定參數(shù)曲線的 哪一側(cè)為參數(shù)穩(wěn)定區(qū)域 。選取適當大的 ? ，利用 (219)式，在參數(shù)空間( ,piKK)。 算法 1 確定 PI 控制器參數(shù)穩(wěn)定域。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為 : 01ipKK k??? (218) 其次，由式 (213)，以 ? 為參變量，解得 22c o s ( ) s in ( )c o s ( ) s in ( )piTKkTKk