【正文】 m? 和 /或一個(gè)幅值裕度 h 參數(shù)穩(wěn)定域內(nèi)確定滿足 m? 和 /或 h 的參數(shù)值。定義如下兩個(gè)復(fù)變函數(shù) ()()() 0(1 )() 1 0(1 )mgjp c i jccjp g ihggk jK K eFej jTk jK K eFj jT h??????????????????? ? ???? ? ?? (223) 可得 : ()( ) (1 ) 0( ) (1 ) 0cmgji p c c cji p g g gk K jK j jT eh k K jK j jT e?? ???? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ? (224) 比較 (211)和 (224)式以及 (211)和 (225)，差別僅在于 (224)式中的因子 m? 以及 ((225)式中的因子 h 。 綜合上面的討論，可給出如下確定相角裕度和幅值裕度的算法。 Step 1 給定期望的相角裕度 m? (或幅值裕度 h )。 Step 3 在由算法 1 給定的參數(shù)穩(wěn)定域內(nèi)，沿著相角裕度曲線 (或幅值裕度曲線 )，根據(jù)閉環(huán)帶寬的要求選定 ? 值，確定 PI 控制器參數(shù)。 仿真算例 本節(jié)主要驗(yàn)證控制器在一階時(shí)滯系統(tǒng)中的整定問題，用到的主要數(shù)學(xué)工具是Matlab,通過 Matlab 上的仿真 結(jié)果來證實(shí)理論的正確性。 Matlab 有以下主要特點(diǎn)： (1)代碼短小卻高效。 Matlab 語言有豐富的庫函數(shù)，包括常用的基本庫函數(shù)和針對(duì)性很強(qiáng)的專用庫函數(shù)。首先 ， Matlab有非常友好的用戶界面與完備的幫助系統(tǒng)。它能在它的編輯器中方便的進(jìn)行靈活操作快速排除輸入程序中的書寫錯(cuò)誤、語法錯(cuò)誤以至語意錯(cuò)誤，從而加快了用戶編寫、修改和調(diào)試程序的速度。用戶可以根據(jù)自己的特別需要方便的建立和擴(kuò)充 Matlab 的庫函數(shù)以提高它的使用效率和擴(kuò)展它的功能。 (4)語句簡單，內(nèi)涵豐富。 (5)強(qiáng)大的矩陣和數(shù)組運(yùn)算。 Matlab 進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的基本單位是復(fù)數(shù)數(shù)組。 Matlab 庫函數(shù)中有一系列繪圖函數(shù)能夠使繪圖變得十分方便和簡單。 MATHWORKS 公司開發(fā)的 Simulink 是 Matlab 里的工具箱之一，主要功能包括實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型的建立及其仿真與分析，從而可以在實(shí)際的控制系統(tǒng)制作出來之前，預(yù)先對(duì)該模型進(jìn)行仿真與分析，因此對(duì)系統(tǒng)的參數(shù)做適當(dāng)?shù)男拚蛘咭勒辗抡?的 19 最佳效果來設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)。 Simulink 不僅支持連續(xù)與離散系統(tǒng)以及連續(xù)離散混合系統(tǒng)，而且支持線性與非線性系統(tǒng)和具有采樣頻率的系統(tǒng)，這樣就可以仿真復(fù)雜的系統(tǒng) [24,25]。此時(shí)， T0 取 T= , ? = , k=1。隨 ? 的增加，由于 (11)式給出的 det J 0，根據(jù)命題 1，曲線的右側(cè)為穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)。 圖 24 參數(shù)穩(wěn)定域及穩(wěn)定裕度曲線 給定 m? =60176。曲線的右側(cè)為滿足 m? 60176。給定 h=3，按算法 2，繪制幅值裕度曲線，如圖 22中虛線所示。兩條裕度曲線的交點(diǎn)約為 ( pK ，iK )=( , )。如果想進(jìn)一步減小超調(diào)量，可在幅值裕度曲線和相角裕度曲線的相交區(qū)域中取一點(diǎn) ( pK ， iK )=( , )，其階躍響應(yīng)如圖 23 中曲線 2 所示。 20 曲線 1 曲線 2 曲線 3 圖 25 單位階躍響應(yīng) 21 例 2 開環(huán)不穩(wěn)定情形。 選取 T = 3, ? =, k=1。和 h=3。圖中陰影部分為參數(shù)穩(wěn)定域，實(shí)線為參數(shù)穩(wěn)定域邊界，虛線為幅值裕度曲線，點(diǎn)劃線為相角裕度曲線。 圖 26 不穩(wěn)定對(duì)象的參數(shù)穩(wěn)定域 圖 27 不穩(wěn)定對(duì)象的階躍響應(yīng) 從以上兩個(gè)設(shè)計(jì)實(shí)例可以看出，本文的設(shè)計(jì)方法給出了完整的 PI 控制器的參數(shù)穩(wěn)定域和滿足給定的相角裕度和幅值裕度的參數(shù)區(qū)域。 本節(jié)研究了一種繪制和確定一階滯后慣性環(huán)節(jié) PI 參數(shù)穩(wěn)定域和相角裕度、幅值裕度的新方法。從具體的推導(dǎo)過程可以看出，該方法可應(yīng)用于任意有滯后或無滯后的 被控對(duì)象，具有一定普遍性和工程意義。假設(shè) G(s)為帶滯后環(huán)節(jié)的一階慣性被控對(duì)象，有 () 1 skG s eTs ??? ? (228) 其中 :k0 為穩(wěn)態(tài)增益， ? 0 為滯后時(shí)間， T 為慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)。 系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為 2( ) ( 1 ) ( )sp p ds T s s k K K s K s e??? ? ? ? ? ? (230) 兩端同時(shí)乘以 se? ，得 ?* (s) 2(1 ) ( )ssp p dT s s e k K K s K s e?? ?? ? ? ? ? (231) 對(duì)式 (231)做變量變換得 ,0szz x jy? ???? ? ? (232) 即 s平面的豎直線 s=? 被變換為 z平面的虛軸。將式 (232)帶入 (231)，得到關(guān)于變量 z 的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為 ( ) 2( ) [ 1 ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]z i p dz T z z e k K K z K z??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (233) 注意到 ()z? 關(guān)于變量 z 是解析的。具體方法如下 :假設(shè) ( 00, , , ,i d pK K K y? )為虛軸上的一點(diǎn)使得 0000( , , , , ) 0( , , , , ) 0r r i d pi i i d pK K K yK K K y? ? ?? ? ??? (235) 即虛軸上存在一個(gè)根。命題 1 給出了在參數(shù)空間研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個(gè)充分必要條件。 接下來，按 y=0 和 y?（ 0,? )兩種情況討論參數(shù)空間 ( , )idKK 的穩(wěn)定域。 2)利用式 (238)繪制 y0 時(shí)的參數(shù)曲線 ( ( ), ( )idK y K y )，如圖 27 所示。 1) 開環(huán)穩(wěn)定對(duì)象 此時(shí)有 T0。當(dāng)比例增益 pK 超出上述范圍時(shí)，鎮(zhèn)定 PID 控制器不存在。式 (240)得到 pK 的范圍為 1 pK 。 (a) pK = (b) pK = 圖 29 穩(wěn)定開環(huán)對(duì)象穩(wěn)定區(qū)域 在穩(wěn)定域內(nèi)選取一點(diǎn) pK =1, dK =, iK =5。 26 圖 210 開環(huán)穩(wěn)定對(duì)象階躍響應(yīng) 2)開環(huán)不穩(wěn)定對(duì)象 此時(shí)， T0。如果該條件成立，則使得鎮(zhèn)定 PID 控制器存在的比例增益 pK 的范 圍由下式確定： 2 2 211( s in c o s ) pT a a a Kkk? ? ? ? ? (241) 其中 2a 為方程式 (241)在區(qū)間 (0， ? )內(nèi)的解 。 給定 T=, ? =, k=1 , ? =。由式 (242)得到 pK的范圍是 pK 1。 27 圖 211 不穩(wěn)定開環(huán)對(duì)象穩(wěn)定區(qū)域 選取穩(wěn)定區(qū)域中的一點(diǎn) iK =3， dK = 通過階躍響應(yīng)驗(yàn)證方法的正確性，如圖212。 Step 1：對(duì)給定的對(duì)象 (21),按式 (238)或 (240)計(jì)算 pK 值的范圍 。 Step3：取與 Step2 相同的 pK 和 ? 值，按式 (238)繪制 Y?(0, ? )時(shí)對(duì)應(yīng)的臨界穩(wěn)定線 。 從以上分析和設(shè)計(jì)過程可以看出，對(duì)任意給定的被控對(duì)象，只要大致知道比例增益 pK 的取值范圍 (可由無滯后情形下特征多項(xiàng)式穩(wěn)定的必要條件和勞斯判據(jù)得到 )，就可按算法 3 在 ( ,idKK)平面繪制和確定穩(wěn)定參數(shù)區(qū)域。本章的任務(wù)是通過仿真證明第二章理論探索的的 PID 曲線的正確性。 我們來看 PID 控制器控制一階時(shí)滯系統(tǒng)的結(jié)果，時(shí)滯對(duì)象可以分為不穩(wěn)定對(duì)象和穩(wěn)定對(duì)象，分為兩種情況討論仿真結(jié)果。 討論 PID 控制前的 Simulink 模塊圖和被控對(duì)象階躍響應(yīng)如圖 31 圖 31 被控對(duì)象階躍響應(yīng) PID 控制后的 Simulink 模塊圖和被控對(duì)象階躍響應(yīng)如圖 32: 29 圖 32 被控對(duì)象階躍響應(yīng) 圖 31 和 32 從理論上證明了本文中所研究的 PID 控制器參數(shù)穩(wěn)定域圖解法對(duì)于不穩(wěn)定對(duì)象時(shí)的正確性。 討論： 1） PID 控制前的 Simulink 模塊圖和被控對(duì)象階躍響應(yīng)如圖 33, 30 圖 33 被控對(duì)象階躍響應(yīng) 2） PID 控制后的 Simulink 模塊圖和被控對(duì)象階躍響應(yīng)如圖 34: 圖 34 被控對(duì)象階躍響應(yīng) 31 圖 34 中所示的階躍響應(yīng)曲線與用穩(wěn)定邊界法（或者臨界比 例度法）所取得的整定效果基本一致，從而證明了理論的正確性。由時(shí)滯的存在使得系統(tǒng)無法獲得良好的性能。 2. 對(duì)于一階單變量時(shí)滯系統(tǒng)，第二章首先分別介紹了常見的 PID 整定方法，同時(shí)重點(diǎn)介 紹了繪制和確定一階滯后慣性環(huán)節(jié) PI 參數(shù)穩(wěn)定域和 PID 參數(shù)穩(wěn)定域的新方法。從具體的推導(dǎo)過程可以看出，該方法可應(yīng)用于任意有時(shí)滯或無時(shí)滯的被控對(duì)象，具有一定普遍性和工程意義。 2. 在系統(tǒng)原有的基礎(chǔ)上加入新的控制功能，并引入人工智能方法 (專家系統(tǒng)、模糊邏輯、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) )，實(shí)現(xiàn)智能監(jiān)測控制，從而提高傳統(tǒng)監(jiān)控系統(tǒng)的性能，形成監(jiān)測、控制、管理一體化的綜合智能系統(tǒng)。 [7] 戴雅馨 .淺析 PID 參數(shù)整定方法 [B],20xx [8] 方斌 .時(shí)滯系統(tǒng) PID 參數(shù)穩(wěn)定域研究與實(shí)驗(yàn) [A],信息與控制， 20xx,10020411 [9] 蘇宏業(yè)，褚健 . 一類非線性時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定 化控制器設(shè)計(jì)研究 ，自動(dòng)化學(xué)報(bào)，1998,0231 [10] 李春生，王耀南等 .一階純滯后智能非線性 PI 控制器優(yōu)化設(shè)計(jì) [J].控制與決策，20xx， 22(3):341344. 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