【正文】 ； （ 2） ∵M(jìn)N 是線(xiàn)段 AC的垂直平分線(xiàn)， ∴AE=EC ． 故答案為： =； （ 3） ∵ 在 Rt△ABC 中， ∠B=90176。 ； （ 2） AE = EC；（填 “=”“ ＞ ” 或 “ ＜ ” ） （ 3）當(dāng) AB=3， AC=5時(shí)， △ABE 的周長(zhǎng) = 7 ． 【考點(diǎn)】 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；勾股定理的應(yīng)用． 【專(zhuān)題】 幾何圖形問(wèn)題． 【分析】 （ 1）由作圖可知， MN是線(xiàn)段 AC 的垂直平分線(xiàn)，故可得出結(jié)論； （ 2）根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)即可得出結(jié)論； （ 3）先根據(jù)勾股定理求出 BC 的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論． 【解答】 解：（ 1） ∵ 由作圖可知， MN是線(xiàn)段 AC的垂直平分線(xiàn)， ∴∠ADE=90176。 ． 故答案為： 108． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了線(xiàn)段垂直 平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，作輔助線(xiàn)，構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵． 三、解答題（共 1小題） 30．（ 2021?梅州）如圖，在 Rt△ABC 中， ∠B=90176。 ﹣ 36176。 ﹣ ∠COE ﹣ ∠OCB=180176。 ， ∵ 將 ∠C 沿 EF（ E在 BC上， F在 AC上）折疊，點(diǎn) C與點(diǎn) O恰好重合， ∴OE=CE ， ∴∠COE=∠OCB=36176。=36176。 ， ∴∠OBC=∠ABC ﹣ ∠ABO=63176。 ） =63176。 ﹣ ∠BAC ） = （ 180176。=27176。 ，點(diǎn) D為 AB中點(diǎn)，且 OD⊥AB ， ∠BAC的平分線(xiàn)與 AB的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn) O，將 ∠C 沿 EF（ E在 BC上， F在 AC上）折疊，點(diǎn) C與點(diǎn) O恰好重合，則 ∠OEC 為 108 度． 【考點(diǎn)】 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）． 【專(zhuān)題】 壓軸 題． 【分析】 連接 OB、 OC，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出 ∠BAO ，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC ，再根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等可得 OA=OB，根據(jù)等邊對(duì)等角可得 ∠ABO=∠BAO ，再求出 ∠OBC ，然后判斷出點(diǎn) O是 △ABC 的外心，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得 OB=OC，再根據(jù)等邊對(duì)等角求出 ∠OCB=∠OBC ，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得 OE=CE，然后根據(jù)等邊對(duì)等角求出 ∠COE ，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解． 【解答】 解：如圖，連接 OB、 OC， ∵∠BAC=54176。 ． 故答案為： 70176。 ， ∵OB 平分 ∠ABC ， ∴∠ABC=2∠OBC=235 176。=35176。 ， ∴∠C=∠AOC ﹣ ∠ADC=125176。 ，則 ∠ABC= 70176。 ． 故答案為： 50176。=180176。 ， ∴∠A+∠A+15176。 ， ∴∠ABC=∠A+15176。 ， AB 的垂直平分線(xiàn) MN 交 AC 于點(diǎn) D，則 ∠A 的度數(shù)是 50176。 ， 故答案為： 60． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了等腰三角形性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的 點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等． 25．（ 2021?荊州）如圖， △ABC 中， AB=AC， AB的垂直平分線(xiàn)交邊 AB 于 D 點(diǎn)，交邊 AC于 E點(diǎn)，若 △ABC 與 △EBC 的周長(zhǎng)分別是 40cm， 24cm，則 AB= 16 cm． 【考點(diǎn)】 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】 首先根據(jù) DE是 AB的垂直平分線(xiàn)，可得 AE=BE；然后根據(jù) △ABC 的周長(zhǎng) =AB+AC+BC，△EBC 的周長(zhǎng) =BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，可得 △ABC 的周長(zhǎng)﹣ △EBC 的周長(zhǎng) =AB，據(jù)此求出AB的長(zhǎng)度是多少即可． 【解答】 解： ∵DE 是 AB的垂直平分線(xiàn)， ∴AE=BE ； ∵△ABC 的周長(zhǎng) =AB+AC+BC， △EBC 的周長(zhǎng) =BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC， ∴△ABC 的周長(zhǎng)﹣ △EBC 的周長(zhǎng) =AB， ∴AB=40 ﹣ 24=16（ cm）． 故答案為： 16． 【點(diǎn)評(píng)】 （ 1）此題主要考查了垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，要熟練掌 握，解答此題的關(guān)鍵是要明確： 垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)，到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等． （ 2）此題還考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形的周長(zhǎng)的求法，要熟練掌握． 26．（ 2021?西寧）如圖， Rt△ABC 中， ∠B=90176。 ， ∴∠A=180176。 ﹣ ∠B ﹣ ∠ACB 求出即可． 【解答】 解： ∵DE 是線(xiàn)段 BC的垂直平分線(xiàn)， ∴BE=CE ， ∴∠B=∠BCE=40176。 ，求出 ∠ACB=2∠BCE=80176。 ， ∴∠ABC=∠C ， ∴AC=AB=m ， ∴△DBC 的周長(zhǎng)是 DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC=m+n， 故答案為： m+n． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了三角形內(nèi)角和定理， 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等． 23．（ 2021?眉山）如圖，在 ?ABCD 中， AB=3， BC=5，對(duì)角線(xiàn) AC、 BD 相交于點(diǎn) O，過(guò)點(diǎn) O 作OE⊥AC ，交 AD于點(diǎn) E，連接 CE，則 △CDE 的周長(zhǎng)為 8 ． 【考點(diǎn)】 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【專(zhuān)題】 幾何圖形問(wèn)題． 【分析】 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得知 AO=OC，由于 OE⊥AC ，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，可知 AE=EC，則 △CDE 的周長(zhǎng)為 CD 與 AD之和，即可得解． 【解答】 解：根據(jù) 平行四邊形的性質(zhì)， ∴AO=OC ， ∵OE⊥AC ， ∴OE 為 AC的垂直平分線(xiàn)， ∴AE=EC ， ∴△CDE 的周長(zhǎng)為： CD+AD=5+3=8， 故答案為： 8． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)與定理是解 題的關(guān)鍵． 24．（ 2021?樂(lè)山）如圖，在 △ABC 中， BC邊的中垂線(xiàn)交 BC于 D，交 AB于 E．若 CE平分 ∠ACB ，∠B=40176。 ﹣ 30176。 ﹣ 40176。=70176。 ， ∴∠ABC=40176。 ， ∴AD=BD ， ∴∠A=∠ABD=40176。 ，若 AB=m， BC=n，則 △DBC 的周長(zhǎng)為 m+n ． 【考點(diǎn)】 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)得出 AD=BD，推出 ∠A=∠ABD=40176。 ， 故答案為： 15． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能正確運(yùn)用定理求出各個(gè)角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵，難度適中． 20．（ 2021?南平）已知點(diǎn) P在線(xiàn)段 AB的垂直平分線(xiàn)上， PA=6，則 PB= 6 ． 【考點(diǎn)】 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)． 【分析】 直接根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行解答 即可． 【解答】 解： ∵ 點(diǎn) P在線(xiàn)段 AB的垂直平分線(xiàn)上， PA=6， ∴PB=PA=6 ． 故答案為： 6． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟知垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)，到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵． 21．（ 2021?泰州）如圖， △ABC 中， AB+AC=6cm， BC的垂直平分線(xiàn) l與 AC相交于點(diǎn) D，則 △ABD的周長(zhǎng)為 6 cm． 【考點(diǎn)】 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)． 【專(zhuān)題】 數(shù)形結(jié)合． 【分析】 根據(jù)中垂線(xiàn)的性質(zhì)，可得 DC=DB，繼而可確定 △ABD 的周長(zhǎng)． 【解答】 解： ∵l 垂直平分 BC， ∴DB=D C， ∴△ABD 的周長(zhǎng) =AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm． 故答案為： 6． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，注意掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)，到線(xiàn)段 兩端點(diǎn)的距離相等． 22．（ 2021?欽州）如圖， △ABC 中， ∠A=40176。 ﹣ 50176。 ﹣ ∠A ） =65176。 ， ∴∠ABD=∠A=50176。 ﹣ 40176。 ， ∴∠A=∠ABD ， ∵∠ADE=40176。 ． 【考點(diǎn)】 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)求出 AD=BD，推出 ∠A=∠ABD=50