【正文】 ? 證明題卡殼時(shí) ,回過頭去檢查別的題 。 ? 除行列式的計(jì)算外 (很少可能 ),所有計(jì)算題應(yīng)該用較簡(jiǎn)單的方法作出 。nn n nAA? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?故其主對(duì)角元素均為 A的列向量的長(zhǎng)度的平方 .現(xiàn)在 A為非 0實(shí)矩陣 ,故至少有一列 不為 0,從而 A?A? |A|?0.(所以本題的實(shí)質(zhì)是 A?A=0 當(dāng)且僅當(dāng) A=0.) 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 29 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 30 應(yīng)試策略 :合理安排 ,先易后難 ,先簡(jiǎn)后繁 .一般來說 ,選擇題最容易 ,填空題次之 。 ( , , . . . , )* * *39。 * 39。 39。39。39。特征值為 0,4,9.) 例 48(1998) 已知二次曲面方程 2 2 2 2 2 2 4x ay z bx y x z y z? ? ? ? ? ?可以經(jīng)過正交變換 xyPz???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 化為橢圓柱面方程 2244???? .求 a,b 和正交矩陣 P. 解 (a=3,b=1) 綜合題型 例 49 設(shè) A 為 r 階方陣 ,B 為 r n 矩陣 , r(B)=r,且 AB= A=0. 證明 因?yàn)?r(B)=r,故 r(BT)= BTx＝ 0 只有 0 解 .但已知AB=0,故 BTAT＝ 0,所以 AT的每列均為 BTx＝ 0 的解 ,從而 AT＝ 0,即 A＝ 0. 例 50 設(shè) A是 m?n 矩陣， B 是 n?s 矩陣 ,證明：方程組 ABX=0 與 BX=0 同解的充要條件是 r(AB)=r(B). 證明 若兩方程組同解 ,則系數(shù)矩陣的秩必相等 。 (2)設(shè)向量 x 在基 1 2 3,? ? ? 下的坐標(biāo)為123??????????,求 x 在基 1 2 3,e e e 下的坐標(biāo) . 解 (1)首先，基 1 2 3,e e e 到基 1 2 3,? ? ? 的過渡矩陣為1 1 10 1 10 0 1A?????????,所以 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 32 0 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 1 01 0 1B e e e AB e e e? ? ? ? ? ?????? ? ?????,因此 1 2 32 0 11 , 1 , 0 .1 0 1? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? (2) 由于 1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 0 1 1 5( , , ) 2 ( , , ) 1 1 0 2 ( , , ) 3 ,3 1 0 1 3 4x e e e e e e? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 故 x 在 1 2 3,e e e 下的坐標(biāo)為534??????????. 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 24 例 41 設(shè) n階實(shí)對(duì)稱矩陣 A滿足條件 2 6 8 0A A E? ? ?且 A+tE是正交矩陣 ,則 t=[ ]. 解 由于 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ( 2 6 ) ( 8 ) ,TTA tE A tE A tE A tE A tE A tEA tA t E t A t E E? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?所以 t=3. 例 42(20xx)已知實(shí)二次型 2221 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 4 4 4f x x x a x a x a x x x x x x x? ? ? ? ? ?經(jīng)正交變換 x=Py 可化為標(biāo)準(zhǔn)形 f=6y12,則 a=. 例 43 設(shè)1 1 1 1 4 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0,1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0AB? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?,則 A 與 B[ ]. 例 44 已知二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 6 8 4 4 ( 0 )f x x x a x a x x x x x x x x a? ? ? ? ? ? ?通過正交變換可以化為標(biāo)準(zhǔn)形 2 2 21 2 3772y y y?? ,求參數(shù) a 以及所用的正交變換 . 解 二次型的矩陣為44422 2 6aAa???????????，而 A的特征值為 7， 7，－ 2，所以 a+a+6=7+72=12,即 a=3. 對(duì)應(yīng)于特征值 7 的 特征向量滿足方程 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 25 1237 3 4 2 04 7 3 2 02 2 7 6 0xxx??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?， 即 1 2 32 2 0x x x? ? ? ，故12111 , 002???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?為兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量 ,單位化 ,正交化可得 12112 3 211,2 3 20432??????????????????? ? ??????????????? ???? ??。 (2) 當(dāng) x=71/5 時(shí) ,?? 1 2 3 4( , , , )L ? ? ? ? , 它 在 基｛ 1 2 3,? ? ? ｝下的坐標(biāo)為 71/15,11/15,81/15. 例 40 已知 R3 的兩組 基 , 1 2 3 1 2 31 0 0 1 1 1{ 0 , 1 , 0 } 。 因此 (2A+3E)1=2(A+3E/2)/17 =(2A+3E)/17. 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 21 例 37(1995) 設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為 1,1, 1 的特征向量為(0,1,1)?,求 A. 解 : 四 .線性空間 /二次型 合同 /正交變換 /正定二 次型 /正定矩陣 / 例 38(20xx) 從 R2 的基 ?1=(1,0)?,?2=(1,1)?,到基 ?1=(1,1)?,?2=(1,2)?的過渡矩陣為[ ]. 例 39 設(shè) 1 2 3 41 7 2 53 0 1 1, , , .2 1 4 0 60 3 1 2? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 求 (1)子空間 1 2 3 4( , , , )L ? ? ? ? 的維數(shù)與一組基 。 (2) 由 (1)的證明可知， r(AE)與 r(A+4E)分別是 A 的屬于特征值 1 與 4 的線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)，從而 A共有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故 A 可以對(duì)角化。 (3)2A+3E 可逆 ,并求其逆 . 證明 因?yàn)?(A+4E)(AE)=0,故 (AE)的每一列都是齊次方程組 (A+4E)x=0 的解，從而是矩陣 A 的屬于特征值 4 的特征向量；因此， r(AE)?nr(A+4E)，即 r(AE)＋ r(A+4E)?n。又因?yàn)锳TA=3E,｜ A|0,所以 |ATA|=|3E|＝ |ATA|＝ |AT||A|＝ |A|2,所以 ,|A|＝ A*有特征值 9／ 2. Ok. 例 36 設(shè) A 是 n 階矩陣 ,A2+3A4E=0,證明 : (1)r(A+4E)+r(AE)=n。當(dāng) ?=3時(shí) ,有兩個(gè)方程 ,但第一個(gè)表明 x=程表明 y=z,所以 ?=(0,1,1).搞掂 ! 例 34(20xx) 設(shè) A,B 為同階方陣 , (1)若 A,B 相似 ,證明 A,B 的特征多項(xiàng)式相等 . (2)舉一個(gè) 2 階矩陣的例子說明 (1)的逆命題不成立 . (3)當(dāng) A,B 均為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí) ,證明 (1)的逆命題成立 . 解 這樣容易的題目也就只有在線性代數(shù)中可能遇到了 :因?yàn)橹挥芯€性代數(shù)是智慧 ,其余都是苦力 . (1)不用寫出來了吧 ? (2)同上句話 . (3)這是唯一值得寫一下的 .設(shè) A,B 均為實(shí)對(duì)稱矩陣 ,則它們均可以對(duì)角化 .因?yàn)樗鼈兊奶卣鞫囗?xiàng)式相同 ,從而具有相同的特征值 ,因此相似于同一個(gè)對(duì)角矩陣 .但相似性是等價(jià)關(guān)系 ,故它們相似 .Ok. 例 35 設(shè) 4階矩陣 A滿足條件 |A＋ 2E|＝ 0,ATA=3E,|A| |2A*+9E|=0,其中A*是 A 的伴隨矩陣。又對(duì)角線元素之和為 n,故還有一個(gè)特征值為 .(秩為 1 的矩陣需特別關(guān)注 .) 例 30(1999) 設(shè)矩陣15310acAbca??????????,其行列式 |A|=1,又 A 的伴隨矩陣 A*有一個(gè)特征值 ?,屬于 ?的一個(gè)特征向量為 ?=(1,1,1)?,求 a,b,c 和 ?的值 . 解 如果計(jì)算 A*,則會(huì)有很多麻煩和困難 .因此應(yīng)該將條件轉(zhuǎn)到 A 上 .由于AA*=|A|E=E,以及 A*?=??,所以 ?=AA*?=A(??)=?A?, 即 1 1 15 3 1 1 ,1 0 1 1acbca?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 即 ( 1 ) 1 ,( 5 3 ) 1 ,( 1 ) 1 ,acbca???? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 所以 ?=1,b=3,a= |A|=1,可知 1 0 11 | | 5 3 3 2 3 3 2 31 0 1 0 0a a aA a aaa??? ? ? ? ? ? ? ? ???, 所以 a=c=2. 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 17 例 31 設(shè) 3 階實(shí)對(duì)稱矩陣 A 有 3 個(gè)特征值 2,2,3 且130013A?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?，求正交矩陣 Q,使得 TQ AQ 為對(duì)角矩陣 . 解 只需求屬于特征值 2 的特征向量 ,設(shè) 1 2 3( , , ) Tx x x x? 是屬于特征值 2 的特征向量 .由實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì) ,屬于特征值 2 的特征向量與屬于特征值 3的特征向量正交 , 故 1 2 3( , , )Tx x x x? 與 (1,0, 1)T? 正交 , 所以13 0xx?? ，故得兩個(gè)正交的單位特征向量 1211( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 1 )36