階段核心方法證明圓的切線的常用方法(參考版)
2025-03-14 12:19本頁面
【正文】 江西 】 如圖 ， 在 △ ABC中 ， O為 AC上一點(diǎn) ， 以點(diǎn) O為圓心 ， OC為半徑作圓 ， 與 BC相切于點(diǎn) C， 過點(diǎn)A作 AD⊥ BO的延長線于點(diǎn) D， 且 ∠ AOD＝ ∠ BAD. (1)求證： AB為 ⊙ O的切線 ． 證明：如圖 ， 作 OE⊥ AB于點(diǎn) E. ∵⊙ O與 BC相切于點(diǎn) C， ∴ AC⊥ BC. ∵∠ A O D ＝ ∠ BAD ， AD ⊥ BD ， ∴∠ O AD ＝ ∠ ABD . 易知 ∠ O AD ＝ ∠ O BC ， ∴∠ ABD ＝ ∠ O BC ， ∴△ O EB ≌△ O CB ( AA S ) ∴ O E ＝ O C . ∴ 點(diǎn) E 在 ⊙ O 上， ∴ AB 為 ⊙ O 的切線． (2 ) 若 BC ＝ 6 ， t an ∠ ABC ＝ 43 ，求 AD 的長． 解：由 BC ＝ 6 ， t an ∠ ABC ＝ACBC＝43，得 AC ＝ 8 ，易知 AB ＝ 10 ， BE ＝ BC ＝ 6 ， AE ＝ 4. 令 O E ＝ O C ＝ x ，則在 R t △ AE O 中， (8 － x )2＝ 42＋ x2，解得 x ＝ 3 ， ∴ O B ＝ BE2＋ OE2＝ 62＋ 32＝ 3 5 . ∵12AB O E ＝12O B AD ，即12 10 3 ＝ 123 5 AD ， ∴ AD ＝ 2 5 . 。 . ∵ AD∥ BC， ∴∠ DAO＝ ∠ AEB＝ 90176。 － ∠ P O B ＝30176。 ， ∠
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