【正文】 optio ns 為指定的優(yōu)化參數(shù)； fva l 為多目標(biāo)函數(shù)在 x 處的值； attai nf ac to r 為解 x 處的目標(biāo)規(guī)劃因子； ex itfl ag 為終止迭代的條件； outpu t 為輸出的優(yōu)化信息； la mbda 為解 x 處的 Lagr an ge 乘子 。 如： x = f goal atta in (my fu n,x0 , goal,weig ht , A,b, Aeq,beq,lb,ub,my c on) ，先建立非線性約束函數(shù)，并保存為 my c ： fu nctio n [ C , C eq] = m ycon(x) C = ? % 計算 x 處的非線性不等式約束0)x(C ?的函數(shù)值。 % 初始值 [x, fval] = fmini max( m y fun , x0) 多目標(biāo)規(guī)劃問題 在 MA T LAB 中，多目標(biāo)問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為 ??,xi m i z em i n g o a lw e i g h t)x(F ???? 0)x(C ? 0)x(C e q ? bxA ?? b e qxA e q ?? ubxlb ?? 其中： x 、 b 、 beq 、 lb 、 ub 是向量； A 、 Aeq 為矩陣； C(x ) 、 Ceq(x)和 F ( x) 是返回向量的函數(shù)； F( x) 、 C(x ) 、 Ceq( x) 可以是非線性函數(shù)；weight 為權(quán)值系數(shù)向量，用于控制對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)與用戶定義的目標(biāo)函數(shù)值的接近程度； goal 為用戶設(shè)計的與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值向量；?為一個松弛因子標(biāo)量； F (x) 為多目標(biāo)規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)向量。 然后，在命令窗口鍵入命令： x0 = [0. 1。 f( 4)= x(1 ) x ( 2)。 f( 2)= x(1 )^2 3 *x ( 2)^ 2。 ou tput 輸出優(yōu)化信息。 Ce q = ? % 計算 x 處的非線性等式約束 0)x(C e q ? 的函數(shù)值。 1x 2x優(yōu)化問題的 Matlab求解 ? 線性規(guī)劃問題 ? 非線性規(guī)劃問題 – 有約束的一元函數(shù)的最小值 – 無約束多元函數(shù)最小值 – 有約束的多元函數(shù)最小值 – 二次規(guī)劃問題 ? “半無限”有約束的多元函數(shù)最優(yōu)解 ? 極小化極大（ Minmax）問題 ? 多目標(biāo)規(guī)劃問題 ? 最小二乘最優(yōu)問題 – 約束線性最小二乘 – 非線性數(shù)據(jù)（曲線）擬合 – 非線性最小二乘 – 非負(fù)線性最小二乘 ? 圖論優(yōu)化 離散問題 極小化極大問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為 )}x(F{m a xm i n i}F{x i S t. 0)x(C ? 0)x(C e q ? bxA ?? b e qxA e q ?? ubxlb ?? 其中： x 、 b 、 b e q 、 lb 、 ub 是向量， A 、 Aeq 為矩陣， C ( x ) 、Ceq(x) 和 F ( x ) 是返回向量的函數(shù)， F(x) 、 C(x) 、 C e q ( x ) 可以是非線性函數(shù)。試問應(yīng)該如何在 A、 B兩個項(xiàng)目之間分配投資，才能既使年利潤最大，又使風(fēng)險損失為最??？ 1x2x 212221 xxxx ?? 該問題是一個非線性多目標(biāo)規(guī)劃問題 ， 將它用數(shù)學(xué)語言描述出來 ， 就是：求 、 ， 使： 1x2x 21211 ),(max xxxxf ??212221212 ),(min xxxxxxf ???而且滿足： ???????????0,01000212121xxxxxx 對于上述多目標(biāo)規(guī)劃問題 ， 如果決策者提出的期望目標(biāo)是： （ 1） 每一年的總收益不小于 600萬元； （ 2） 希望投資風(fēng)險損失不超過 800萬元； （ 3） 兩個目標(biāo)同等重要 。設(shè) 、 分別表示分配給 A、 B項(xiàng)目的投資（萬元）。那么，借助 Matlab軟件系統(tǒng)中的優(yōu)化計算工具進(jìn)行求解，可以得到一個非劣解方案為： 51 ?x 42 ?x按照此方案進(jìn)行生產(chǎn)，該企業(yè)每個月可以獲得利潤 44000元，同時需要投資 29700元 。 如果計劃決策變量用 和 表示 ， 它們分別代表 A、 B產(chǎn)品每月的生產(chǎn)量 （ 單位： t） ； 表示生產(chǎn) A、 B兩種產(chǎn)品的總投資費(fèi)用 （ 單位：元 ） ； 表示生產(chǎn) A、 B兩種產(chǎn)品獲得的總利潤 （ 單位：元 ） 。 A、 B產(chǎn)品每月的最大生產(chǎn)能力分別為 5t和 8t；市場對這兩種產(chǎn)品總量的需求每月不少于 9t。 x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b) x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq) x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) [x,fval] = fgoalattain(...) 第四節(jié) 多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實(shí)例 一、生產(chǎn)計劃問題 二、投資問題 某企業(yè)擬生產(chǎn) A和 B兩種產(chǎn)品，其生產(chǎn)投資費(fèi)用分別為 2100元 /t和 4800元 /t。 ?id?id if *iflp?lk??lk? lp五、目標(biāo)達(dá)到法 首先將多目標(biāo)規(guī)劃模型化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式： ???????????)()()(min)(min 21XfXfXfxFk??????????????????????????000)()()()( 21??XXXXm???在求解之前，先設(shè)計與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組 目標(biāo)值理想化的期望目標(biāo) ,每 一個目標(biāo)對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)為 ， 再設(shè) 為一松弛因子。 )()(min ?? ??? FFAFFZ TGX ?? )(ia ),2,1( kiai ??三、約束模型 理論依據(jù) ： 若規(guī)劃問題的某一目標(biāo)可以給出一個可供選擇的范圍，則該目標(biāo)就可以作為約束條件而被排除出目標(biāo)組，進(jìn)入約束條件組中。 ?一、效用最優(yōu)化模型（線性加權(quán)法） 建模依據(jù)： 規(guī)劃問題的各個目標(biāo)函數(shù)可以通過一定的方式進(jìn)行求和運(yùn)算。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，有如下幾種建模方法。 圖 多目標(biāo)規(guī)劃的劣解與非劣解 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時達(dá)到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解（又稱非支配解或帕累托解）。所有非劣解構(gòu)成的集合稱為非劣解集 。 在各個方案之間 ， 顯然： ③ 比 ② 好 ，④ 比 ① 好 ， ⑦ 比 ③ 好 ， ⑤ 比 ④ 好 。 AXZ ?max( min)bBX ?XABb二、多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解 多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標(biāo)的最優(yōu)化（最大或最?。?，而不顧其它目標(biāo)。 TnxxxX ],[ 21 ?? 如果將 （ ） 和 （ ） 式進(jìn)一步縮寫 ， 即： （ ） （ ） 式中： 是 k維函數(shù)向量 ， k是目標(biāo)函數(shù)的個數(shù)； 是 m維函數(shù)向量； 是 m維常數(shù)向量； m是約束方程的 個數(shù)。 （二）多目標(biāo)決策的兩個較明顯的特點(diǎn)： （ 1）目標(biāo)之間的不可公度性； （ 2）目標(biāo)之間的矛盾性。 為了滿足這類問題研究之需要 ，對多目標(biāo)規(guī)劃方法作一些介紹 。 總運(yùn)費(fèi)為 3360元，高于原運(yùn)費(fèi) 410元，超過原方案 10%的上限 115元。下面按照目標(biāo)的 重要性的等級列出目標(biāo)規(guī)劃的約束和目標(biāo)函數(shù)。 例 解 求解原運(yùn)輸問題 。由于總生產(chǎn)量小于總需求量 , 上級部門經(jīng)研究后，制定了調(diào)配方案的 8項(xiàng)指標(biāo)，并 規(guī)定重要性的次序是 : 用 戶 1 2 3 4 生產(chǎn)量 工廠 1 5 2 6 7 300 工廠 2 3 5 4 6 200 工廠 3 4 5 2 3 400 需求量 200 100 450 250 例 第一目標(biāo)：用戶 4為重要部門 ,需求量必須全部滿足； 第二目標(biāo)：供應(yīng)用戶 1的產(chǎn)品中，工廠 3的產(chǎn)品不少 于 100個單位；第三目標(biāo)：每個用戶的滿足率不低于 80%；第四目標(biāo)：應(yīng)盡量滿足各用戶的需求； 第五目標(biāo)：新方案的總運(yùn)費(fèi)不超過原運(yùn)輸問題的調(diào)度 方案的 10%；第六目標(biāo)：因道路限制，工廠 2到用戶 4 的路線應(yīng)盡量避免運(yùn)輸任務(wù)； 第七目標(biāo)：用戶 1和用戶 3的滿足率應(yīng)盡量保持平衡； 第八目標(biāo)：力求減少總運(yùn)費(fèi)。能夠滿足老客戶的需求，但未能達(dá)到銷售目標(biāo)。)211820()211820(mi n15765483432211??????????????????dPdddPdPdddPdPz,17001285.. 11321 ????? ?? ddxxxts .8,2,1,0,19001285,100,120,100,80,50,502188321773662