高中數(shù)學(xué)231直線與平面垂直的判定及其性質(zhì)課件新人教a版必修2(參考版)
2024-11-22 08:11本頁(yè)面
【正文】 . 答案： 45176。 ， PA ＝ AB ，所以 ∠ PBA＝ 45176。 解析： ∠ ABO 即是斜線 AB 與平面 α 所成的角， 在 Rt △ AOB 中， AB ＝ 2 BO ，所以 c os ∠ ABO ＝12， 即 ∠ ABO ＝ 60176。 C ． 30176。 ，即 SD ⊥ BD . 又 AC ∩ BD ＝ D ， AC ， BD ? 平面 A BC ，所以 SD ⊥ 平面 AB C . ( 2) 因?yàn)?AB ＝ BC ， D 為 AC 的中點(diǎn)，所以 BD ⊥ AC . 又由 ( 1) 知 SD ⊥ BD ，于是 BD 垂直于平面 S AC 內(nèi)的兩條相交直線，所以 BD ⊥ 平面 S A C . 直線與平面所成角 [ 例 3] 如圖所示，在正方體 ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 是棱 DD 1 的中點(diǎn)．求直線BE 與平面 ABB 1 A 1 所成的角的正弦值． [ 解 ] 取 AA 1 的中點(diǎn) M ，連接 EM ， BM ， 因?yàn)?E 是 DD 1 的中點(diǎn)，四邊形 ADD 1 A 1 為正方形， 所以 EM ∥ AD . 又在正方體 A BC D － A 1 B 1 C 1 D 1 中， AD ⊥ 平面 A BB 1 A 1 ， 所以 EM ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ， 從而 BM 為直線 BE 在平面 AB B1A1上的射影， ∠ EBM 即為直線 BE 與平面 AB B1A1所成的角． 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 2 ，則 EM ＝ AD ＝ 2 ， BE ＝ 22＋ 22＋ 12＝ 3 ， 于是在 Rt △ B EM 中， si n ∠ E BM ＝EMBE＝23， 即直線 BE 與平面 ABB1A1所成的角的正弦值為23. [類題通法 ] 求斜線與平面所成角的步驟 (1)作圖：作 (或找 )出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計(jì)算． (2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角． (3)計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算． [活學(xué)活用 ] 3．已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)是底面邊長(zhǎng)的 2倍，求側(cè)棱與底面所成角的余弦值． 解： 如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為 a ，則側(cè)棱長(zhǎng)為 2 a . 設(shè) O 為底面中心， 則 ∠ S A O 為 SA 與平面 A B C 所成的角． 在 Rt △ S OA 中， ∵ AO ＝2332a ＝33a ， ∴ c os ∠ S A O ＝AOSA＝33a2 a＝36， 即側(cè)棱與底面所成角的余弦值為36. [ 典例 ] 如圖，已知 P 是 △ ABC 所在平面外一點(diǎn)， PA ，PB ， PC 兩兩互相垂直， H 是 △ A BC 的垂心． 求證： PH ⊥ 平面 A BC . [解題流程 ] 要證 PH⊥ 平面 ABC，需證 PH垂直于平面ABC內(nèi)兩條相交直線 . PA， PB， PC兩兩垂直且 H是△ ABC的垂心，則△ ABC的一個(gè)頂點(diǎn)與 H連線與對(duì)邊垂直 . 由 PC⊥ PA且 PC⊥ PB―→ PC⊥ 平面
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