(備用)貝葉斯方法(估計_推斷_決策)(參考版)
2025-02-28 15:16本頁面
【正文】 (4)定義在 上的二元函數(shù) 稱為損失函數(shù) 我們把損失函數(shù) 對后驗分布 的期望稱為后驗風險 ,記 ,即 后驗風險就是用后驗分布計算的平均損失 . 定義 在給定的貝葉斯決策問題中 ,從樣本空間 到行動集 A上的一個映照 稱為該決策問題的一個決策函數(shù) , 表示所有樣本空間從到 A上的決策函數(shù)組成的類稱為決策函數(shù)類 . 在貝葉斯決策中我們面臨的是決策函數(shù)類 D,要在 D中選擇決策函數(shù) ,使其風險最小 . 定義 在給定的貝葉斯決策問題中 是其決策函數(shù)稱 為決策函數(shù) 的后驗風險 .假如在決策函數(shù)類中存在這樣的決策函數(shù) ,它在 D中有最小的風險 ,即 則稱 為后驗風險準則下的最優(yōu)決策函數(shù) ,或稱貝葉斯決策 ,或貝葉斯解 . 定理 在平方損失函數(shù) 下 , 的貝葉斯估計為后驗均值 ,即 [Pr] 在平方損失函數(shù)下 ,任何一個決策函數(shù) 的后驗風險為 演講完畢，謝謝觀看！ 。 例 4 某公司購進某種貨物可分大批 、 中批和小批三種行動 ， 記為 .未來市場需求量可分為高 、 中 、 低三種狀態(tài) ， 記為 .三個行動在不同市場的利潤如下 : 321 , ??? 321 , aaa這是一個收益矩陣 ,我們把它改寫成損失矩陣如下 : 構(gòu)成決策問題的三要素 : 由收益函數(shù)容易獲得損失函數(shù) 例 5 某公司購進一批貨物投放市場 ,若購進數(shù)量 低于市場需求量 ,每噸可賺 15萬元 , 若購進數(shù)量 超過市場需求量 ,超過部分每噸反而要虧 35萬元 .由此可寫出收益函數(shù) 顯然 ,當購進數(shù)量 等于市場需求量 時 ,收益達到最大為15 . 第一步 ,對每個行動 ,選出最大損失值 ,記為 則稱 為悲觀準則下的最優(yōu)行動 .這是一種保守策略 .不求零損失 ,但愿少損失 . 例 6某公司購進某種貨物可分大批 、 中批和小批三種行動 ， 記 為 , ,.未來市場需求量可分為高 、 中 、 低三種狀態(tài) ， 記為 , ,.三個行動在不同市場的利潤如下 : 1a23a1?23??????????????2432610Q這是一個收益矩陣 ,我們把它改寫成損失矩陣如下 : ???????????201840L1a2a3a 在悲觀準則下 ,第一步 :行動 的最大損失值依此為 ,4,8. 第二步 ,在上面三個最大損失值中最小值為 ,而對應(yīng)的行動為 . 321 , aaa 1a (1)平方損失函數(shù) 這是在統(tǒng)計決策中用得最多的損失函數(shù) . (3)01損失函數(shù) (4)多元二次損失函數(shù) 四、貝葉斯決策問題 先驗信息和抽樣信息都用的決策問題稱為貝葉斯決策問題 。 用這種觀點認識損失對提高決策意識是有好處的 。我們不稱為損失 ， 而稱其為虧損 。 例如 ， 某商店一個月的經(jīng)營收益為 1000元 ， 即虧 1000元 。 在狀態(tài)集和行動集都為有限時用損失矩 陣。 收益函數(shù)的建立不是件容易的事 ， 要對所研究的問題有全面的了解才能建立起來 。 設(shè) 是 的一個貝葉斯估計，在樣本給定后， 是一個數(shù)，在綜合各種信息后， 是按 取值，所以評價一個貝葉斯估計的誤差的最好而又簡單的方式是用 θ對 的后驗均方差或平方根來度量，定義如下： ???? ??? )( x?? ??稱為 的后驗均方差 ,而其平方根稱為后驗標準誤 . 定義 設(shè)參數(shù) θ的后驗分布為 ,貝葉斯估計為 ,則 的后驗期望 )( x?????? 2)?()?( ??? ? ?? xExMSE當 時 ,則 ,稱為后驗均方差 . 后驗均方差與后驗方差有如下關(guān)系 : )(? xEE ?? )()?()?( 2 xVarExMSE ExE ???? ? ??? 222)??()()]??()?[()?()?(?????????????????????EEExxxVarEExMSEE?? ???這表明 ,當 時 ,可使后驗均方差達到最小 ,實際中常取后驗均值作為 的貝葉斯估計值 . ?例 2 設(shè)一批產(chǎn)品的不合格率為 ,檢查是一個一個進行 ,直到發(fā)現(xiàn)第一個不合格品為止 ,若 X為發(fā)現(xiàn)第一個不合格品時已檢查的產(chǎn)品數(shù) ,則 X服從幾何分布 ,其分布列為 ?,2,1,)1()( 1 ???? ? xxXP x???設(shè) 的先驗分布為 , 如今只獲得一個樣本觀察值 x=3,求 的最大后驗估計 ,后驗期望估計 ,并計算它的誤差 .故聯(lián)合分布為 3,2,1,31)4( ??? iiP ? 2)41(431)4,3(iiiXP ????????X=3的無條件概率為 (利用全概率公式 485])41(
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