6統(tǒng)計決策與貝葉斯估計(參考版)
2025-01-24 07:36本頁面
【正文】 ?若給定的統(tǒng)計決策問題是參數(shù)的點估計，在定理條件下，相應(yīng)的決策函數(shù)必為參數(shù)的最大最小估計量 參數(shù)估計 2/8/2023 第 73頁 例 設(shè)總體 X~B(1, p)， p未知，服從分布 損失函數(shù)為 L(? ,d) =(? d)2 ，參數(shù) p的貝葉斯估計 為 p的最大最小估計 10,)1()()()()( 112222 ???????? ?? pppnp nnnn?又 1,0,)1(),(),1(~: 1 ??? ? xpppxppBX xx即因為解?????? ??????niiniiiixnxnixxTnpppppxqXXX11 )1()1()|(),(1121 的聯(lián)合分布密度為?即解又參數(shù)估計 2/8/2023 第 74頁 111021211111)1()()1()()1()(),()|(?????????????????????????????nniinniiniiniiniiniixnxxnxxnxppkdpppppppxmpxfxph??參數(shù)估計 2/8/2023 第 75頁 參數(shù)估計 2/8/2023 第 76頁 ?定理 給定一個貝葉斯決策問題，設(shè){?k(? ):k ≥1}為參數(shù)空間 Θ上的先驗分布列，{dk: k≥1}和 {RB(dk)}:k≥1}分別為相應(yīng)的貝葉斯估計列和貝葉斯風(fēng)險列，若 d0是 ? 的一個估計，且風(fēng)險函數(shù)滿足， 則 d0為 ? 的最大最小估計 參數(shù)估計 2/8/2023 第 77頁 ?定理 給定一個貝葉斯決策問題，若 d0是? 的一個估計，其風(fēng)險函數(shù) R(? ,d0)在參數(shù)空間 Θ上為常數(shù) ρ ，且 {?k(? ):k ≥1}為先驗分布列，使得相應(yīng)的貝葉斯估計列 {dk: k≥1}的貝葉斯風(fēng)險滿足 則 d0為 ? 的最大最小估計 參數(shù)估計 2/8/2023 第 78頁 ?例 x1, x2 , …, x n來自正態(tài)分布 N(? ,1)的一個樣本，設(shè) ? 的先驗分布 N(0 ,? 2)，其中 ? 2已知，在 01損失函數(shù)下 ? 的貝葉斯為估計 證明樣本均值是 ? 的最大最小估計 參數(shù)估計 2/8/2023 第 79頁 證明：由例 參數(shù)估計 2/8/2023 第 80頁 ?? 的貝葉斯為估計為 )]()([1)]()([1)]()([1)]()([1}{1}|{|),(222222222222)1()1(11111111??????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnnnFFdPdPdR?????????????????????????????????????????????參數(shù)估計 2/8/2023 第 81頁 )(22),(lim))1(())1((2)])1((1))1(([1)])1(())1(([1),(222222222222??????????????????????????????ndRnnnnnnnnnnnndR????????????????????????????????? ????????????????????????????????????))(1(2))(22()),((lim)),((lim)(lim2),(,i21nnEdREdREdRdRiii iiBi有對序列 ??參數(shù)估計 2/8/2023 第 82頁 演講完畢，謝謝觀看！ 。 d4 為 ： d4(0)=a2, d4(1)=a1 即當(dāng)?shù)刭|(zhì)學(xué)家的結(jié)論是無油時出賣土地，有油時鉆探石油。 參數(shù)估計 2/8/2023 第 62頁 ?例設(shè)總體 X 服從兩點分布，試求 p 的極大極小估計量，其中 L(p,d) d= d= P1=5 1 4 P2= 3 2 參數(shù)估計 2/8/2023 第 63頁 ?解：決策空間為 A={,}，選取容量為 1的子樣， x只能取 0,1 a只能取 ， ，則決策函數(shù)d(x)有四個： d x a d1(x) d2(x) d3(x) d4(x) 0 1 參數(shù)估計 2/8/2023 第 64頁 ?風(fēng)險函數(shù) R(p,d) R(p1,di) R(p2,di) maxR(pi,dj) d1 1 3 3 d2 4 3 4 d3 7/4 5/2 5/2 d4 13/4 5/2 13/4 參數(shù)估計 2/8/2023 第 65頁 min(maxR(pi,dj))=5/2 則極大極小估計為 R(p,d)計算舉例 參數(shù)估計 2/8/2023 第 66頁 ?例：地質(zhì)學(xué)家把地層狀態(tài)分為 0， 1兩種，并把當(dāng)?shù)責(zé)o石油記為 ?0 ， 有石油記為 ?1，分布規(guī)律如下表 ? ? x 0 1 ?0 （無油） ?1 （有油） 參數(shù)估計 2/8/2023 第 67頁 決策空間為 A={a1,a2,a3}，其中 a1為鉆探石油，a2為出賣土地， a3為開發(fā)旅游。 參數(shù)估計 2/8/2023 第 56頁 ?例 , x2 , …, x n來自正態(tài)分布 N(? ,?02)的一個樣本，其中 ?02已知， ? 未知，假設(shè) ? 的先驗分布為正態(tài)分布 N(? ,? 2)，其中先驗均值 ? 和先驗方差 ? 2均已知，試求 ? 的貝葉斯區(qū)間估計。 x參數(shù)估計 2
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