【正文】 應(yīng)用 期權(quán)如何定價？ Var如何計算？ 演講完畢，謝謝觀看！ 。這種模型與 jump model基本類似，只不過跳躍期變長而已。 狀態(tài)轉(zhuǎn)換模型（ Regime Switches） 一種替代的方法是假定存在一個易變性狀態(tài)，下面是另一個流行的模型： 假設(shè)在時間 t，收益率的產(chǎn)生過程為 R, 稱為正常狀態(tài)，在 t+1 時刻，存在一個概率 1p ，收益率仍然為“正常狀態(tài)”，但是，在 t+1 時刻， 也存在一個概率 p，狀態(tài)變?yōu)閯邮帬顟B(tài)；收益率是由 產(chǎn)生。雖然人們認(rèn)為 1987年的股災(zāi)是這種情況的一個例證，但這個模型不能解釋易變性變化的持續(xù)存在。 這種結(jié)構(gòu)意味著收益率的實際分布具有厚尾性。下面，我們討論兩種流行的模型： Jumps 模型（跳躍模型） 設(shè)收益率服從正態(tài)分布，且方差為常數(shù)，但是每一階段（時期），都有可能出現(xiàn)跳躍的情況，但出現(xiàn)的概率是小概率。 問題：能否用 ARCH模型直接預(yù)測 VaR? 它與我們計算的 VaR哪個更準(zhǔn)確？ 四、正態(tài)分布的混合（ Mixture of Normals） (應(yīng)用！ ) 計算 VaR 另一個常用的方法是假定每一個階段，收益率都以某種概率服從一種正態(tài)分布或服從不同參數(shù)的另一個正態(tài)分布，這種情況下，收益率的分布稱為 正態(tài)分布的混合 “ mixture of normals” 。 GARCH Models 方法 簡單而論，一般的自回歸條件異方差模型，包括了RiskMetrics 方法，只要假定方差參數(shù)的一個特殊過程即可。 類似地， RiskMetrics 可以使用同樣的程序計算相關(guān)系數(shù)。特別是，他們提出了下列的平均數(shù)： 這里， t0 為 樣本的第一期，對于日數(shù)據(jù)，取 對于月數(shù)據(jù)，取 當(dāng)樣本數(shù)量為無窮大時，上述公式變?yōu)椋? 因此，明天收益率方差的預(yù)測值為今天收益率方差的預(yù)測值與今天實際收益率平方的簡單加權(quán)平均。 風(fēng)險測度（ RiskMetrics） : 指數(shù)加權(quán)法 上述移動平均法預(yù)測將來的易變性存在的一個問題是，對所有的觀測值給予相同的權(quán)重，既是看似與預(yù)測明天易變性無關(guān)的 1個月前的數(shù)據(jù)也給予同樣的權(quán)重。 類似地，兩個資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)也是隨時間而變化的。 在這種情況下，要在估計的精度與使用時間之間的尋求平衡。 下面我們討論幾個模型，這些模型中，收益率仍然服從正態(tài)分布， ValueatRisk的計算，象前面有關(guān)章節(jié)一樣， 可以直接計算，唯一需要注意的是將下標(biāo) t 加入到均值與方差。 在實際中，的確有許多證據(jù)證明，這些參數(shù)是隨時間變化的。 三、可變方差的正態(tài)分布收益率 我們可以假定正態(tài)分布的參數(shù)是變化的，進而放松獨立同分布假設(shè)，而同時保持 “ 正態(tài)收益率 ” 的靈活性。 問題：如何判斷 VaR計算結(jié)果的準(zhǔn)確性？如何計算準(zhǔn)確的VaR結(jié)果。 （ 2） 1997 對于美國股票市場是非常好的一年（盡管不如1996年），因此，計算的 VaR 反映的是市場沒有任何實質(zhì)性的不好收益率的情況。事實上， （ 1）我們僅僅有 252個日收益觀測數(shù)值 。 實例 使用 SP500 ， 1997年日收益率數(shù)據(jù)，我們計算 99% one day VaR 為： VaR = $13,155, 這個數(shù)據(jù)比我們以前得到的 VaR小的多。 再考慮前面討論的組合保險的例子。在此例中，我們得到的 VaR 數(shù)值比 正態(tài)分布假設(shè)下大 13% 。 也就是說，對于樣本中每一個 t值，計算： 利用歷史收益，我們可以計算對應(yīng)于左邊 1% 概率的證券組合變化值為 ‘ 200,570’, 這樣， VaR = $200,570。 一個公司在歐元上的投資額為 million dollars ，在日圓上的投資額為 million dollars 。 二、應(yīng)用歷史收益率密度計算 VaR 解決上述問題的一種方法是應(yīng)用收益率本身的歷史分布密度。 說明 這對于基于正態(tài)分布收益率計算的 VaR 來說，不是一個好消息，因為，厚尾意味著 , 對應(yīng)于 99%概率的實際分界點要低于使用 基于正態(tài)分布收益率計算的 分界點。 實例 下圖是 USD/Euro匯率日收益率的歷史分布密度圖與在參數(shù)估計中假設(shè)的正態(tài)分布密度圖 。使用這些 簡化假設(shè)時， 風(fēng)險管理者要在 VaR的準(zhǔn)確性與快速估計方法之間尋求一種平衡。 注意： 如果假定 99%的分位數(shù)為 ，那么，我們是假定收益率為正態(tài)分布，但實際上往往不是正態(tài)分布。一旦出現(xiàn)這種情況，建議使用更符合實際的收益分布。既是 服從正態(tài)分布， 也不服從正態(tài)分布（實際上， 服從自由度為 1的Chisquare分布）。 （二） The DeltaGamma Method 比 delta method 更好的近似方法是應(yīng)用 Taylor expansion 中的高階項。 換言之，隨著股票價格的下跌，看跌期權(quán)的 Delta變的更負(fù)，即它的 Gamma（ Delta 對標(biāo)的股票價格變化的敏感性） 是正值（此例中 ) ，看跌期權(quán)的價值比 增加更快。這時，新的指數(shù)值為 S ? 900（對應(yīng)于 VaR的分界值）。 因此，在近似方法 (假設(shè)價格有小的變化 )與 VaR (價格有大的變化 )定義之間存在不一致性。再假定無風(fēng)險收益率為 r = 5% ，標(biāo)的物的紅利收益率為 0，年隱含的收益率波動性為： 則根據(jù) BlackShose公式，有： 在給定 SP500 index的價值，投資在養(yǎng)老基金上的份額為： NS = 1 bil/936 = 1,068,376 index share (spot market). 令 Nf = 1,068,376. Example 這樣整個頭寸的變化量為： 可見， 服從正態(tài)分布，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： 將 代入到 VaR的計算公式中， a 99% one day VaR 為： 評論（ 1） 你可能會立刻注意到在計算非線性證券 VaR時， Delta Normal method的不足 ： （ 1）根據(jù)定義， VaR給出的是小概率下極端的損失值 (損失大于 $ mil in the next 24 hours的概率，僅有 1%)。 例如，如果一個證券組合包括指數(shù)看跌期權(quán) (如組合保險 ), 既是假定指數(shù)收益率服從正態(tài)分布，指數(shù)看跌期權(quán)的價值則不服從正態(tài)分布。 假設(shè) YM and YS 服從正態(tài)分布和聯(lián)合正態(tài)分布，其均值和方差分別為： ， 它們的相關(guān)系數(shù)為： 你的財產(chǎn)明天的價值（以美圓計）為： 根據(jù) St+1 和 Mt+1的定義， 因為聯(lián)合正態(tài)分布之和仍為正態(tài)分布，我們有： 這里 因此，投資歐元的總收益率（股票市場的收益率 +外匯匯率的收益率）仍然服從正態(tài)分布，所以我們可以利用前面所學(xué)的技術(shù)計算 VaR. 記 為 Yt+1小于 發(fā)生的概率為 的數(shù)值，我們可以計算頭寸為 Vt=10 Mil x Mt時的 VaR。 (3) 對于小的收益率值 (例如 ,以天計算的收益率 )，單利收益率可以用復(fù)利收益