【正文】 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 33 ? ? 122 122 ??? TSSTs?。固有頻率ω n越大， tr越小，反之則 tr越大。 欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài) 性能指標(biāo) 1. 上升時(shí)間 tr 上升時(shí)間 tr是指瞬態(tài)響應(yīng)第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 32 顯然，ζ≤ 0 時(shí)的二階系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的，而在ζ ≥ 1 時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的速度又太慢，所以對(duì)二階系統(tǒng)而言，欠阻尼情況是最有實(shí)際意義的。圖為其特征根分布圖。 (a) (b) (c) ζ ≥ 1 時(shí)二階系統(tǒng)的特征根的分布與單位階躍響應(yīng) 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 31 2. 過阻尼 (ζ＞ 1) 具有兩個(gè)不同負(fù)實(shí)根 ])1(,[ 221 nss ??? ???? 的慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)拉氏變換式。 二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 s2+2ζω ns+ω 2n=0 其特征根為 ns ??? ?????? ???? 122,1 1. 臨界阻尼 (ζ =1) 其時(shí)域響應(yīng)為 ? ? )1(1 tetc ntn ?? ??? ? 上式包含一個(gè)衰減指數(shù)項(xiàng)。響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故又稱為非周期響應(yīng)。當(dāng)時(shí)間 t 趨于無窮，暫態(tài)分量衰減為零。一些控制元部件及簡(jiǎn)單系統(tǒng)如 RC 網(wǎng)絡(luò)、發(fā)電機(jī)、空氣加熱器、液面控制系統(tǒng)等都是一階系統(tǒng)。穩(wěn)態(tài)誤差有不同定義，通常在典型輸入下進(jìn)行測(cè)定或計(jì)算。 超調(diào)量 ? ％ 峰值 )(pth 超出終值 )(?h 的百分比，即 ? ％ 100)( )()( ?? ??? h hth p％ 在上述動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)中，工程上最常用的是調(diào)節(jié)時(shí)間 st （描述“快”），超調(diào)量 ? ％ （描述“勻”）以及峰值時(shí)間 pt 。 峰值時(shí)間 pt 階躍響應(yīng)越過穩(wěn)態(tài)值 )(?h 達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。 1 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)通常有如下幾項(xiàng)： 延遲時(shí)間 dt 階躍響應(yīng)第一次達(dá)到終值 )(?h 的 50％ 所需的時(shí)間。 控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo) 對(duì)控制系統(tǒng)的一般要求歸納為穩(wěn) 、準(zhǔn)、快。單位脈沖函數(shù)的面積等于 l，即 ???? ?1)( dtt? 在 t＝ t0處的單位脈沖函數(shù)用δ (tt0)來表示，它滿足如下條件 幅值為無窮大、持續(xù)時(shí)間為零的脈沖純屬數(shù)學(xué)上的假設(shè)，但在系統(tǒng)分析中卻很有用處。 4. 脈沖函數(shù) 這種函數(shù)的定義是 ??????? ???????0)( 0 ,)0( ,0 ,0)(?????tAtttx r 式中 A 為常數(shù)， ε 為趨于零的正數(shù)。這種函數(shù)相當(dāng)于隨動(dòng)系統(tǒng)中加入一按照恒加速變化的位置信號(hào)，該恒加速度為 A。當(dāng) A＝ l 時(shí)，稱為單位斜坡函數(shù)，如圖所示。 2. 斜坡函數(shù) 這種函數(shù)的定義是 ????? ???0 ,00 , )(tttAtx r 式中 A 為常數(shù)。 A 等于 1 的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，如圖所示。 繪制系統(tǒng)方框圖的步驟 1．首先按照系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和工作原理，分解出各環(huán)節(jié)； 2．列寫系統(tǒng)各組成 環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程，并進(jìn)行線性化； 3．求初始條件皆為零時(shí)的各組成環(huán)節(jié)的拉氏變換式； 4．分別以方框圖的形式表達(dá)各環(huán)節(jié)的拉氏變換式； 5．將各環(huán)節(jié)的方框圖中的相同變量用箭頭聯(lián)接起來，便構(gòu)成系統(tǒng)的總方框圖。 在 R(s)作用下的誤差傳遞函數(shù) 設(shè) N(s)＝ 0，再用反饋運(yùn)算法則得誤差傳遞函數(shù)為 )()()(1 1)( )( 21 sHsGsGsR sE R ?? 上式對(duì)于反饋系統(tǒng)的誤差分 析是非常重要的。這是閉環(huán)系統(tǒng)的另一優(yōu)點(diǎn)。這是閉環(huán)系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)之一。 (a) 引出點(diǎn)前移 (b) 引出點(diǎn)后移 圖 引出點(diǎn)前后移動(dòng)等效變換 3. 有擾動(dòng)參與作用下的閉環(huán)系統(tǒng) 當(dāng)給定量 R(s)和擾動(dòng)量 N(s)兩個(gè)輸入量同時(shí)作用于線性系統(tǒng)時(shí)，可對(duì)每一輸入量分別求出 輸出量，然后應(yīng)用疊加原理，將兩者疊加而成系統(tǒng)的總輸出量。方框圖變換的原則是：變換前后的輸出信號(hào)應(yīng)不變。為了便于運(yùn)算，常通過移動(dòng)比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的方法，將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)作些變化，以減少局部反饋回路。 U(s) U(s)177。 （ 3）反饋運(yùn)算法則 具有反饋環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)等于前向通路的傳遞函數(shù)除以 1 加 (或減 )前向通路和反饋通路兩者傳遞函數(shù)的乘積。 （ 1）串聯(lián)運(yùn)算法則 n 個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的總傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積。 （ 4）綜合點(diǎn)（比較點(diǎn)）：對(duì)兩個(gè)以上信 號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算，“＋”號(hào)表示相加，“－”號(hào)表示相減，如圖 (d)所示。它起著對(duì)信號(hào)的運(yùn)算和轉(zhuǎn)換作用 。 (七 ) 時(shí)滯環(huán)節(jié) 在實(shí)際控制系統(tǒng)中常遇到時(shí)滯環(huán)節(jié)，即輸入信號(hào)加入后，輸出要隔一定時(shí)間τ才能復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)，時(shí)滯環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程為 xc(t)=xr(tτ ) 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 23 根據(jù)時(shí)域位移定理，其傳遞函數(shù)為 src esX sXsG ???? )( )()( 圖 211 時(shí)滯環(huán)節(jié) 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖 控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖一般由如下四種基本單元組成，它們是 （ 1）信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，信號(hào)線上標(biāo)信號(hào)的原函數(shù)或象函數(shù) 。其特性由 K、τ和ζ三個(gè)參數(shù)來表示。因此，任何一個(gè)能指示出 — 個(gè)量的變化速率的裝置都可視為微分環(huán)節(jié)。理想微分環(huán)節(jié)的輸出 xυ (t)為輸入 xr(t)的微分。 顯然，決定振蕩環(huán)節(jié)性能的參數(shù)有放大系數(shù) K，時(shí)間常數(shù) T 和阻尼比ζ。因此，使輸出量具有振蕩的性質(zhì)。 圖 29 電氣慣性環(huán)節(jié) (三 ) 積分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)的輸出量 xc(t)的變化率和輸入量 xr(t)成正比，即 其傳遞函數(shù)為 G(s)=Xc(s)/Xr(s)=K/s (四 ) 振蕩環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié)包含兩種形式的儲(chǔ)能元件，并且所儲(chǔ)存的能量相互轉(zhuǎn)換。慣性環(huán)節(jié)的輸出量和輸入量的量綱可能是相同的，也可能是不相同的。設(shè)輸入為xr(t)，輸出為 xc(t)，則其運(yùn)動(dòng)方程式為 )()()( tKxtxdt tdxT rcc ?? 其傳遞函數(shù)為 G(s)=Xc(s)/Xr(s)=K/(Ts+1) 式中 T—— 環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)； K—— 環(huán)節(jié)的放大系數(shù)。幾乎所有控制系統(tǒng)都有放大環(huán)節(jié)，主要 用于電壓、電流、力、速度等的放大或減小。 放大環(huán)節(jié)的共同特點(diǎn)是傳遞函數(shù)為一常數(shù)。 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) (一 ) 放大環(huán)節(jié) (比例環(huán)節(jié) ) 放大環(huán)節(jié)的輸出量以一定比例復(fù)現(xiàn)輸入量，而毫無失真和時(shí)間滯后現(xiàn)象。 5．分母中的最高階若為 n，則稱系統(tǒng)為 n 階系統(tǒng)。 3．傳遞函數(shù)等于單位脈沖函數(shù)輸入時(shí)的系統(tǒng)輸出響應(yīng)的象函數(shù)，或者說傳遞函數(shù)的拉氏反變換是系統(tǒng)的單G(s) Xr(s) Xc(s) 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 21 位脈沖響應(yīng)。 系統(tǒng)傳遞函數(shù)是復(fù)變量 s 的函數(shù)，常?？梢员磉_(dá)成如下形式 或 傳遞函數(shù)的性質(zhì) 1．傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)或元件自身的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與輸入量和初始條件等外部因素?zé)o關(guān)。 傳遞函數(shù)的定義 在線性定常系統(tǒng)中，初始條件為零時(shí)，系統(tǒng) (或元件 )輸出的拉氏變換 Xc(s)和輸入的拉氏變換 Xr(s)之比稱為系統(tǒng) (或元件 )的傳遞函數(shù)，即 )( )()]([ )]([)( sX sXtxL txLsG rcrc ?? 或 Xc(s)=G(s)Xr(s) 圖 傳遞函數(shù)圖示 若令輸入信號(hào)為單位脈沖函數(shù)δ (t)，其拉氏變換為 Xr(s)＝ 1，則根據(jù)上式得 Xc(s)＝ G(s) 傳遞函數(shù)是系統(tǒng)或環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型的另一種形式，它反映了系統(tǒng)輸出變量與輸入變量之間的關(guān)系。因此，可以認(rèn)為其初始條件為零。 (2) 若使線性化具有足夠精度，調(diào)節(jié)過程中變量偏離工作點(diǎn)的偏差信號(hào)必須足夠小。 線性化有如下特點(diǎn)： (l) 線性化是相對(duì)某一額定工作點(diǎn)進(jìn)行的。 FFyykdt yydBdt yydM ??????????? 000202 )()()( (3) 將演化后的運(yùn)動(dòng)方程式與靜態(tài)方程式相減，其結(jié)果即為增量方程式 Fykdt ydBdt yd ???????22 非線性函數(shù)的線性化 線性化這一概念用數(shù)學(xué)方法來處理，就是將一個(gè)非線性函數(shù)在其工作點(diǎn)展開成泰勒（ Taytor）級(jí)數(shù)，然后略去二次以上的高階項(xiàng)，得到線性化方程，用來代替原來的非線性函數(shù)。 +Δ y； F＝ F。 =F。 y。于是，就得到所要建立的元件或系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型了。 (4) 消去中間變量，列出各變量間的關(guān)系式?？紤]忽略一些次要因素。而這些物理定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式就是環(huán)節(jié) (或元件 )的原始方程式。確定輸入量和輸出量時(shí)，應(yīng)使前一環(huán)節(jié)的輸出量是后一環(huán)節(jié)的輸入量。 解 根據(jù)基爾霍夫電路定律，有 CuRidtdiLtu ?????)( 而 dtduCi c? ，則上式可寫成如下形式 JT?dTsT圖 機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng) L RCu cu圖 RLC 無源網(wǎng)絡(luò) 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 19 )(22 tuudtduRCdt udLCCcc ??? （ 2－ 3） 上式表示了 RLC 電路的輸入量和輸出量之間的關(guān)系。 因此該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式為 )()()()(22 tTtKdt tdBdt tdJ ??? ??? （ 2－ 2） 電氣系統(tǒng) 電氣系統(tǒng)的基本元件是電阻、電容、電感以及電動(dòng)機(jī)等，支配電氣系統(tǒng)的基本定律是 基爾霍夫電路定律。求該系統(tǒng)的微分方程 式。為一圓柱體被軸承支撐并在黏性介質(zhì)中轉(zhuǎn)動(dòng)。 例求 61)(2 ???? ss ssF的拉氏反變換。 （ 2）通過取 F(s)的拉氏反變換求 )(tf ，并求 )(tf? 及 )0(f 和 )0(f? 。 解：方法 1，由終值定理知： 方法 2，利用部分分式法將 )(sF 改寫成 11010)1( 10)( ?????? sssssF 則可知 )(sF 的拉氏反變換為 10)1( 10lim)(lim)(lim 00 ???? ???? sssssFtf sst《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 17 tetf ??? 1010)( 則 1010lim10)(lim ??? ????? ttt etf 例 已知 2)2( 1)( ?? ssF 。 （ 1） 用終值定理，求 ??t 時(shí)的 f(t)的值。 拉氏反變換的定義 部分分式法 例 已知23 3)( 2 ???? ss ssF，求 ?)( ?tf 解：因 )(21),2)(1(23)( 2 sFsssssssD 是和 ?????????? 的一階極點(diǎn)，可得 21)( 21 ???? sCsCsF 式中 21)1()2)(1(31 ????????sssssC 12)2()2)(1(32 ?????????sssssC 所以 )0(2)( 2 ??? ?? teetf tt 。 答：由于1)2( 1541)( 22 ?????? ssssF，其原函數(shù)為 tetf t sin)( 2?? 所以選擇 ① 。 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 16 (5) 已知541)( 2 ???