直接證明與間接證明(參考版)
2024-08-29 16:45本頁面
【正文】 則即，∵實數(shù) a , b,c成等差數(shù)列，∴a+c=2b，∴，∴，∴a=c與a≠c，矛盾，∴不可能成等差數(shù)列.11．已知a，b，c是互不相等的實數(shù)．求證：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點．證明：假設題設中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點(即任何一條拋物線與x軸沒有兩個不同的交點)，由y＝ax2＋2bx＋c， y＝bx2＋2cx＋a， y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，Δ3＝(2a)2－4bc≤0.上述三個同向不等式相加得， 4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca≤0， ∴(a－b) 2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c，這與題設a，b，c互不相等矛盾，因此假設不成立，從而命題得證．12．已知數(shù)列{an}的前n項的和Sn滿足Sn＝2an－3n (n∈N*)．(1)求證{an＋3}為等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；(2)數(shù)列{an}是否存在三項使它們按原順序可以構成等差數(shù)列？若存在，求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由．證明 (1)：∵Sn＝2an－3n (n∈N*)，∴a1＝S1＝2a1－3，∴a1＝3.又由得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，∴{an＋3}是首項為a1＋3＝6，公比為2的等比數(shù)列．∴an＋3＝62n－1，即an＝3(2n－1)．解(2)：假設數(shù)列{an}中存在三項ar，as，at (rst)，它們可以構成等差數(shù)列．由(1)知arasat，則2as＝ar＋at，∴6(2s－1)＝3(2r－1)＋3(2t－1)，即2s＋1＝2r＋2t，∴2s＋1－r＝1＋2t－r (*)∵r、s、t均為正整數(shù)且rst，∴(*)左邊為偶數(shù)而右邊為奇數(shù)，矛盾， ∴假設不成立，故數(shù)列{an}不存在三項使它們按原順序可以構成等差數(shù)列.。 a2－2ac－ab,∵a0,只需證：a2cb，即證a+b2c, 這是已知條件，故原不等式成立.8．已知在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a，b，c，如果a，b，c依次成等差數(shù)列，求證：0B≤.證明：∵a，b，c依次成等差數(shù)列，∴a+c=2b 222。 |a－c| 219。(adbc)2≥0, 而上式成立，故原不等式成立.7．已知a0,b0,2ca+b, 求證：ca c＋.證明：
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