高二數(shù)學充分條件和必要條件(參考版)
2024-11-16 17:28本頁面
【正文】 不成立 ， 則 q p， 所以 p是 q的既不充分也不必要條件 ． 【 名師點評 】 一般地 ， 關于充要條件的判斷主要有以下幾種方法： (1)定義法：直接利用定義進行判斷 ． (2)等價法： “ p?q” 表示 p等價于 q， 等價命題可以進行轉換 ， 當我們要證明一個命題成立時 ， 就可以去證明它的等價命題成立 ． 這里要注意 “ 原命題 ?逆否命題 ”“ 否命題 ?逆命題 ” 只是等價形式之一 ，對于條件和結論是不等關系 (否定式 )的命題一般應用等價法 ． (3)利用集合間的包含關系進行判斷：如果 A＝{x|p(x)}， B＝ {x|q(x)}， 那么 ， 若 A?B， 則 p是 q的充分條件 ， 若 B?A， 則 p是 q的必要條件 ， 若 A＝ B， 則p是 q的充要條件 ． 自我挑戰(zhàn) 1 判斷下列各題中 p 是 q 的什么條件 ． ( 1) p ： | a |≥ 2 ， a ∈ R ， q ：方程 x2＋ ax ＋ a ＋ 3 ＝ 0 有實根； ( 2) p ：四邊形的對角線相等， q ：四邊形是矩形； ( 3) p ： x ＝ 1 或 x ＝ 2 ， q ： x － 1 ＝ x － 1 . 解： (1)當 |a|≥ 2時 ， 如 a＝ 3時 ， 方程可化為 x2＋ 3x＋ 6＝ 0， 無實根；而方程 x2＋ ax＋ a＋ 3＝ 0有實根 ，則必有 Δ＝ a2－ 4(a＋ 3)≥ 0， 即 a≤ － 2或 a≥ 6， 從而可以推出 |a|≥ ， 由 q能推出 p， 而由 p不能推出 q， 所以 p是 q的必要不充分條件 ． ( 2 ) 由 “ 四邊形的對角線相等 ” 推不出 “ 四邊形是矩形 ” ；而由 “ 四邊形是矩形 ” 可以推出 “ 四邊形的對角線相等 ” ，所以 p 是 q 的必要不充分條件 ． ( 3) 當 x ＝ 1 或 x ＝ 2 時， x － 1 ＝ x － 1 顯然成立；而解方程 x － 1 ＝ x － 1 ，可得 x ＝ 1 或 x ＝ 2 ，所以 p 是 q的充要條件 ． 充要條件的證明 (1)證明充要條件 ， 一般是從充分性和必要性兩個方面進行 ． 此時要特別注意充分性和必要性所推證的內容是什么 ． (2)在具體解題時需注意若推出 (?)關系成立，需嚴格證明 ． 若推出 (?)關系不成立，可舉反例說明 ． 例 2
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