高二數(shù)學(xué)充分條件和必要條件(編輯修改稿)
2024-12-18 17:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 . 解： (1)當(dāng) |a|≥ 2時 ， 如 a＝ 3時 ， 方程可化為 x2＋ 3x＋ 6＝ 0， 無實根；而方程 x2＋ ax＋ a＋ 3＝ 0有實根 ，則必有 Δ＝ a2－ 4(a＋ 3)≥ 0， 即 a≤ － 2或 a≥ 6， 從而可以推出 |a|≥ ， 由 q能推出 p， 而由 p不能推出 q， 所以 p是 q的必要不充分條件 ． ( 2 ) 由 “ 四邊形的對角線相等 ” 推不出 “ 四邊形是矩形 ” ；而由 “ 四邊形是矩形 ” 可以推出 “ 四邊形的對角線相等 ” ，所以 p 是 q 的必要不充分條件 ． ( 3) 當(dāng) x ＝ 1 或 x ＝ 2 時， x － 1 ＝ x － 1 顯然成立；而解方程 x － 1 ＝ x － 1 ，可得 x ＝ 1 或 x ＝ 2 ，所以 p 是 q的充要條件 ． 充要條件的證明 (1)證明充要條件 ， 一般是從充分性和必要性兩個方面進行 ． 此時要特別注意充分性和必要性所推證的內(nèi)容是什么 ． (2)在具體解題時需注意若推出 (?)關(guān)系成立，需嚴(yán)格證明 ． 若推出 (?)關(guān)系不成立，可舉反例說明 ． 例 2 證明：關(guān)于 x的一元二次不等式 x2＋ px＋q≤ 0的解集只有一個元素的充要條件是 p2＝ 4q. 【 思路點撥 】 證明充要條件問題 ， 必須分清條件與結(jié)論 ． 由 “ 條件 ” ?“ 結(jié)論 ” ， 是證明命題的充分性；由 “ 結(jié)論 ” ?“ 條件 ” ， 是證明命題的必要性 ． 【證明】 命題中的條件為 p2＝ 4 q . 必要性：解不等式 x2＋ px ＋ q ≤ 0. 若 Δ ＝ p2－ 4 q 0 ，則 不等式的解集為??? x ?????－ p － Δ2≤ x ≤－ p ＋ Δ2， 不合題意 ． 若 Δ 0 ，則 x2＋ px ＋ q 恒大于 0 ， 原不等式的解集為空集，不合題意 ． 所以，不等式 x2＋ px ＋ q ≤ 0 的解集中只含有一個元素時， Δ ＝ p2－ 4 q ＝ 0 ，即 p2＝ 4 q . 充分性： ∵ p2＝ 4 q ， ∴ x2＋ px ＋ q ＝ x2＋ px ＋p24＝????x ＋p22≤ 0 ，
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