【正文】 。 方法 2：注意到無論是完全還是不完全雙二次插值對二次多項式都是準確的，于是就想用到 “ 不完全 ” 比 “ 完全 ”少了一個形心條件，能否在給定的矩形元 e上，用它四頂 點，四邊中點值表示矩形中心之值呢？用式子表示即 () 其中 為待求的基函數(shù) 用 Taylor 級數(shù)展開 ， 因 為二次多項式 ， 三階以上的微商為零 ， 從而有 （ 想法找出 和 ）之間關系 得到 兩式加 同理 即得 剩下的問題是將上式中 與 用已知值代替。 在 e內(nèi)不含 項的雙二次式 。則 。換言之精度不降，工作量卻小了，很合算。 （ 3） 不完全雙二次插值： 能否去掉形心 C點的插值條件？可以，這樣將得到不完 全的雙二次插值。需在 4個頂點 、 4個中點和形心處取已知值 即 及 C點 。 局部坐標與長度坐標之間的關系： x方向： y方向： 一維線性插值基函數(shù) 。 既對稱又簡單的標準矩形為正方形 D： 對任一 （ 見圖 ） 從 e到標準 矩形 D的坐標變換是 () 式中， 為形心 C的坐標： 為矩形長 、 寬之半 ， 亦即 (XC,YC) A1(X1,Y1) A2(X2,Y1) A3(X2,Y2) A4(X1,Y2) 0 (1, 1) (1,1) (1,1) (1,1) 1 1 ξ η x2,22121 yyyxxxcc????ξ,η稱為局部坐標，用以構造基函數(shù)，利用 ξ,η可知四邊 之方程分別為： 下面將構造雙線性插值函數(shù) ， 所謂雙線性 L型是指單元 4個頂點給定函數(shù)值后 ， 在 x,y向均為線性變化 ， 在單元內(nèi) 為 x,y的線性函數(shù) 。與三角形單元相比，矩形單元除基函數(shù)差別大一些外，其余如唯一可解性，整體連續(xù)性，逼近度及總體自由度的研究均十分類同，因此在下面的研究中只給出基函數(shù)構造，其他同學可自己證明 一下，結果我們在最后的小結中還將提到。但在落板落殼及裂縫尖端應力計算中，構造協(xié)調(diào)的位移函數(shù)困難 .于是在單元內(nèi)部采用一個位移函數(shù)在單元邊界上采用另一個獨立的應力或位移函數(shù)，用最小勢能 原理論 —— 位移雜交元或在單元內(nèi)部假定一個應力場， 在單元邊界上另外采用一個協(xié)調(diào)的位移場，用最小余能 原理求解 —— 應力雜交元，后者用度更廣泛一些，詳細 將以后介紹。當自由度超過 150時，已趨近于理論的因此引出了進一步的問題 —— 矩形剖分，在講矩形剖分前順便向釋一下雜交單元。但剛度陣復雜，形成單剛時間長。 圖（ C）為 3節(jié)點 18自由度單元 .兩個單元 ,24個方程。 對于 xy平面的單元 e上的插值 ， 據(jù)式 （ ） 和 的關系 ， 得到 () 且 () 特別要強調(diào)： 在用有限元法時，作為未知量的節(jié)點參數(shù)總是按整體坐標給出的 ,即 等等，這樣才能保證整體連續(xù)性，但是為了便于應用面積坐標之性質(zhì)，在求基函數(shù) 時給出 等，在得到基函數(shù)后再 變換回來，這樣可以得到整體坐標系中的表達式。這 21個條件大致有兩種給法 （ 1） 21個自由度格式：在每個頂點給出 ， 在三條邊的中點給出： 面外法向 （ 2） 18個自由度格式： 去掉邊上三個自由度，改成 在三條邊上均為三次式這樣三個約束條件。 要對三角形剖分構造協(xié)調(diào)板元 （ 亦即插值函數(shù)屬于 且二階微商分塊連續(xù) ） 在每個單元中的插值多項式至少是五次的 ?？勺鞣菂f(xié)調(diào)板元 。 連續(xù)性證明與前類似。 （ 1） 三次插值 ， 插值函數(shù) 使在每個單 元 上滿足： 10 20 是 的齊三次式 （ 亦即 的三次式 ） 唯一可解性： 設 在 邊 為一個自變量 的三次式（在點 A1 A3 A2 C 點也類似情況 ） 。 類似有： 連續(xù)性 逼近度 總體自由度 重新回顧三角形剖分 ， 每邊加一個自由度等于頂點加三個自由度 ,內(nèi)部加 4． Hermite插值 一個自由度等于頂點加兩個自由度 ， 因此增加邊 上自由度很不合算 。 原來 可令 據(jù)條件（ E）定出 故有 三條邊上 這項為 0， 改變系數(shù)不影響在 節(jié)點 之函數(shù)值 。 一般二次多項式的形式為 () 化為齊次式有 對于插值函數(shù)（三次） 欲使 ， 必須滿足條件 （ E） （ E） () 問題歸結為求 ，使 10 20在單元 上 是 的齊三次式 （ 即 的 三次多項式 ） 且系數(shù)滿足條件 （ E） ， 故亦稱為受 限制的三次插值 。 2） 三次插值 形心 C， 共 10點 ， 10個基函數(shù) 基函數(shù) () 連續(xù)性 逼近度 總體自由度 3）受限制的三次插值 總體自由度增高多占不少內(nèi)存，想要減少一點 ,但對 L型插值來說，邊上 4個自由度是不可少的，要 保證三次和相鄰元連續(xù)，因此只能在形心上想法， 表面上看， 去掉三次式的某項作不完全的三次插 值是可行的 ， 如去掉 項 ， 這樣的不完 全三次插值是唯一的 ， 但又是無用的 ， 因它對 一次式都不準確 。除二次線 性插值外，還有三次