20xx全國各地高考數(shù)學(xué)試題分類匯編(函數(shù)與導(dǎo)數(shù))(參考版)
2025-08-11 21:05本頁面
【正文】 ①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，在上的最大值，而最小值為與中的較小者，由知，當(dāng)時，故，所以，而在上單調(diào)遞增，因此，所以在上的最小值為.②當(dāng)時,且, 下面比較的大小. 由在上單調(diào)遞增,有 又由, 從而 所以綜上,函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.29．（2012浙江理）(本小題滿分14分)已知a＞0，bR，函數(shù)．(Ⅰ)證明：當(dāng)0≤x≤1時，(ⅰ)函數(shù)的最大值為|2a－b|﹢a；(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；(Ⅱ) 若﹣1≤≤1對x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范圍．解：(Ⅰ)(ⅰ)．當(dāng)b≤0時，＞0在0≤x≤1上恒成立，此時的最大值為：＝|2a－b|﹢a；當(dāng)b＞0時，在0≤x≤1上的正負(fù)性不能判斷，此時的最大值為：＝|2a－b|﹢a；綜上所述：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a；(ⅱ) 要證＋|2a－b|﹢a≥0，即證＝﹣≤|2a－b|﹢a．亦即證在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，∵，∴令．當(dāng)b≤0時，＜0在0≤x≤1上恒成立，此時的最大值為：＝|2a－b|﹢a；當(dāng)b＜0時，在0≤x≤1上的正負(fù)性不能判斷，≤|2a－b|﹢a；綜上所述：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a，且函數(shù)在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．∵﹣1≤≤1對x[0，1]恒成立，∴|2a－b|﹢a≤1．取b為縱軸，a為橫軸．則可行域為：和，目標(biāo)函數(shù)為z＝a＋b．作圖如下：由圖易得：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為z＝a＋b過P(1，2)時，有．∴所求a＋b的取值范圍為：．30. (2012浙江文)（本題滿分15分）已知函數(shù)⑴求的單調(diào)區(qū)間⑵證明：當(dāng)時，解： 由題意得 當(dāng)時，恒成立，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為 當(dāng)時，此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和單調(diào)遞減區(qū)間為 由于故當(dāng)時，當(dāng)時，設(shè)于是01—0+1減極小值增1所以，所以當(dāng)時，故 。[0,1]，因此. ……10分由單調(diào)性可得.因為，所以所求反函數(shù)是，. ……14分24. （2012上海文）已知函數(shù).①若，求的取值范圍；②如果是以為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時，有，求函數(shù) 的反函數(shù).答案：①②25.（2012四川理）(本小題滿分14分) 已知為正實數(shù)，為自然數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點，設(shè)為該拋物線在點處的切線在軸上的截距.（Ⅰ）用和表示；（Ⅱ）求對所有都有成立的的最小值；（Ⅲ）當(dāng)時，比較與的大小，并說明理由.解：（1）由已知得，交點A的坐標(biāo)為，對則拋物線在點A處的切線方程為(2)由（1）知f(n)=,則即知，對于所有的n成立，特別地，取n=2時，得到a≥當(dāng),2n3+1當(dāng)n=0,1,2時，顯然故當(dāng)a=時，對所有自然數(shù)都成立所以滿足條件的a的最小值是.（3）由（1）知，則，下面證明：首先證明：當(dāng)0x1時，設(shè)函數(shù)當(dāng)故g(x)在區(qū)間（0,1）上的最小值g(x)min=g所以，當(dāng)0x1時，g(x)≥0,即得由0a1知0ak1(),因此，從而 26．（2012四川文）(本小題滿分14分)已知a為正實數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點A，設(shè)為該拋物線在點處的切線在軸上的截距．（Ⅰ）用和表示；（Ⅱ）求對所有都有成立的的最小值；（Ⅲ）當(dāng)時，比較與的大小，并說明理由．解：（Ⅰ）令，得，則．由知，點處的切線方程為．令，得，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，則成立的充要條件是，即知，對于所有的n成立，特別地，取n=1得到．當(dāng)，n≥1時，．當(dāng)n=0時，．故時，對所有都成立．所以滿足條件的a的最小值為3．（Ⅲ）由（Ⅰ）知．下面證明：．首先證明：當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在上的最小值，所以當(dāng)時，即得．由知，因此，從而．27.(2012天津理)（本小題滿分14分）已知函數(shù)的最小值為，其中.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若對任意的,有成立，求實數(shù)的最小值；（Ⅲ）證明.解：（1）的定義域為
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