【正文】 【數(shù)學(xué)理卷2015屆重慶一中高三12月月考（201412）word版】20．（12分）如下圖所示四棱錐EABCD中，四邊形為正方形，平面，且，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求四棱錐EABCD的體積．【知識(shí)點(diǎn)】垂直關(guān)系 四棱錐的體積G5 G7【答案】【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）183 解析：(Ⅰ)證明：∵平面，平面，∴． 在正方形中，∵，∴平面,∵AB//CD，∴平面． （Ⅱ）解法1：在△中，∴．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵平面，平面，∴． ∵，∴平面．∵，∴．又正方形的面積， ∴ ．故所求體積為．解法2：在△中，∴． 連接，則四棱錐EABCD分割為三棱錐和三棱錐． 由（1）知，．∴．又AB//CD平面，平面，∴AB//平面CDE．∴點(diǎn)到平面的距離為的長(zhǎng)度．∴ ∵平面，∴．∴．故所求體積為．【思路點(diǎn)撥】本題由線(xiàn)面垂直的判定定理進(jìn)行證明，求體積則可以通過(guò)直接求體積法和分割求體積法求得結(jié)果.G8 多面體與球G9　空間向量及運(yùn)算【數(shù)學(xué)理卷2015屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期第一次模擬考試（201501）】20．已知在如圖的多面體中，⊥底面，,是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面 （3）求此多面體的體積.【知識(shí)點(diǎn)】線(xiàn)面平行的判定定理；線(xiàn)面垂直的判定定理； G5G7【答案】【解析】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3） 解析：（1）∵，∴． 又∵,是的中點(diǎn)，∴， ∴四邊形是平行四邊形，∴ ． ∵平面，平面，∴平面． （2）連結(jié)，四邊形是矩形，∵，⊥底面，∴平面，平面， ∴∵，∴四邊形為菱形，∴， 又平面，平面，∴平面． （5） ,作于，平面平面，平面，,平面,【思路點(diǎn)撥】（1）先結(jié)合已知條件證明出四邊形是平行四邊形，再利用線(xiàn)面平行的判定定理即可；（2）直接利用線(xiàn)面垂直的判定定理即可；（3）先對(duì)原幾何體分解，再分別求出體積相加即可。2015屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測(cè)試（201501）word版】13．已知球與棱長(zhǎng)均為2的三棱錐各條棱都相切，則該球的表面積為　　▲　　。2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】19.（本小題滿(mǎn)分12分）正方形與梯形所在平面互相垂直，點(diǎn)M是EC中點(diǎn)。2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】19.（本小題滿(mǎn)分12分）正方形與梯形所在平面互相垂直，點(diǎn)M是EC中點(diǎn)。2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（201501）】19．（本小題滿(mǎn)分12分）如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱⊥底面,分別為上的動(dòng)點(diǎn)，且． （Ⅰ）若，求證：∥ （Ⅱ）求三棱錐體積最大值．【知識(shí)點(diǎn)】線(xiàn)面平行的判定定理； G7【答案】【解析】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）分別取和中點(diǎn)、連接、則,所以,四邊形為平行四邊形．,又∥．……4分（Ⅱ）在平面內(nèi)作,因?yàn)閭?cè)棱⊥底面,所以平面⊥底面,且平面底面,所以,所以．…………7分（或平面中，所以）因?yàn)?所以．,…………10分…………12分的最大值為【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）分別取和中點(diǎn)、連接、然后利用線(xiàn)面平行的判定定理即可；（Ⅱ）結(jié)合已知條件把體積轉(zhuǎn)化成含的解析式，進(jìn)而求出最大值即可。2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（201501）】19．（本小題滿(mǎn)分12分）如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱⊥底面,分別為上的動(dòng)點(diǎn)，且． （Ⅰ）若，求證：∥ （Ⅱ）求三棱錐體積最大值．【知識(shí)點(diǎn)】線(xiàn)面平行的判定定理； G7【答案】【解析】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）分別取和中點(diǎn)、連接、則,所以,四邊形為平行四邊形．,又∥．……4分（Ⅱ）在平面內(nèi)作,因?yàn)閭?cè)棱⊥底面,所以平面⊥底面,且平面底面,所以,所以．…………7分（或平面中，所以）因?yàn)?所以．,…………10分…………12分的最大值為【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）分別取和中點(diǎn)、連接、然后利用線(xiàn)面平行的判定定理即可；（Ⅱ）結(jié)合已知條件把體積轉(zhuǎn)化成含的解析式，進(jìn)而求出最大值即可。（II）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD,因?yàn)槊鍭BCD為正方形，所以AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD，因?yàn)?，所以CD⊥AE,因?yàn)镻A=AD，E為PD中點(diǎn)，所以AE⊥PD,所以AE⊥平面PCD．因?yàn)锳E∥FQ，所以FQ⊥平面PCD．因?yàn)椋?所以平面PFC⊥平面PCD.【思路點(diǎn)撥】證明線(xiàn)面平行及面面垂直問(wèn)題，通常結(jié)合其判定定理進(jìn)行證明.【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷（I）證明：∥平面；（II）證明：平面平面。2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】19．如圖1，在四棱錐中，底面，面為正方形，為側(cè)棱上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)。2015屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測(cè)試（201501）word版】6．設(shè)為兩條不同的直線(xiàn)，為兩個(gè)不同的平面．下列命題中，正確的是（ ▲ ）。2015屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測(cè)試（201501）word版】21．（本小題滿(mǎn)分15分） 在直三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，是棱的中點(diǎn)，且. （1）試在棱上確定一點(diǎn)，使平面； （2）當(dāng)點(diǎn)在棱中點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成角的大小的正弦值。【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】5．已知是平面，是直線(xiàn)，則下列命題不正確的是（）A．若則 B．若則C．若則 D．若，則【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系與垂直關(guān)系G4 G5【答案】【解析】D 解析：由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)得A選項(xiàng)正確；由兩面平行的性質(zhì)知B正確；若m⊥α,m∥β,則平面β必經(jīng)過(guò)平面α的一條垂線(xiàn)，所以C正確；因?yàn)閚不一定在平面β內(nèi)，所以m與n不一定平行，則D錯(cuò)誤，綜上可知選D.【思路點(diǎn)撥】判斷空間線(xiàn)面位置關(guān)系時(shí)，可考慮反例法和直接推導(dǎo)相結(jié)合的方法進(jìn)行解答.【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷【知識(shí)點(diǎn)】垂直關(guān)系 二面角的求法G5 G11【答案】【解析】 （I）略；（II） 解析：（I）取AD的中點(diǎn)G，因?yàn)镻A=PD，所以PG⊥AD,由題意知△ABC是等邊三角形，所以BG⊥AD,又PG,BG是平面PGB的兩條相交直線(xiàn)，所以AD⊥平面PGB，因?yàn)镋F∥PB,DE∥GB,所以平面DEF∥平面PGB,所以AD⊥平面DEF。2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】19．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為1的菱形，且，分別是的中點(diǎn)。（II）由(1)知∠PGB為二面角PADB的平面角，在Rt△PGA中，,在Rt△BGA中，,在△PGB中.【思路點(diǎn)撥】證明線(xiàn)面垂直，通常利用其判定定理進(jìn)行證明，求二面角時(shí)可先找出其平面角，再利用其所在的三角形求值.【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷（I）證明：；（II）求二面角的余弦值。2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】5．已知是平面，是直線(xiàn)，則下列命題不正確的是（）A．若則 B．若則C．若則 D．若，則【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系與垂直關(guān)系G4 G5【答案】【解析】D 解析：由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)得A選項(xiàng)正確；由兩面平行的性質(zhì)知B正確；若m⊥α,m∥β,則平面β必經(jīng)過(guò)平面α的一條垂線(xiàn)，所以C正確；因?yàn)閚不一定在平面β內(nèi)，所以m與n不一定平行，則D錯(cuò)誤，綜上可知選D.【思路點(diǎn)撥】判斷空間線(xiàn)面位置關(guān)系時(shí)，可考慮反例法和直接推導(dǎo)相結(jié)合的方法進(jìn)行解答.【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷【知識(shí)點(diǎn)】垂直關(guān)系 二面角的求法G5 G11【答案】【解析】 （I）略；（II） 解析：（I）取AD的中點(diǎn)G，因?yàn)镻A=PD，所以PG⊥AD,由題意知△ABC是等邊三角形，所以BG⊥AD,又PG,BG是平面PGB的兩條相交直線(xiàn)，所以AD⊥平面PGB，因?yàn)镋F∥PB,DE∥GB,所以平面DEF∥平面PGB,所以AD⊥平面DEF。2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】19．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為1的菱形，且，分別是的中點(diǎn)。2015屆河南省安陽(yáng)一中等天一大聯(lián)考高三階段測(cè)試（三）（201412）word版】(20)（本小題滿(mǎn)分12分） 如圖，在四棱錐P ABCD中，ADDB，其中三棱錐P BCD的三視圖如圖所示，且 (1)求證：AD PB(2)若PA與平面PCD所成角的正弦值為 ，求AD的長(zhǎng)【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的三視圖；垂直關(guān)系的判定；線(xiàn)面角的意義. G2 G5 G11【答案】【解析】（1）證明：見(jiàn)解析；（2）6. 解析：由三視圖可知又，又。2015屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測(cè)試（201501）word版】4．在空間給出下面四個(gè)命題(其中、為不同的兩條直線(xiàn),、為不同的兩個(gè)平面)①,// ②//,////③//,// ④,//,//,//,////其中正確的命題個(gè)數(shù)有（ ▲ ）。 （5分） （2）設(shè)平面的法向量為， ， 則有，取，得。則有,。 （1）求與平面所成角的正弦值； （2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值。＝－3＋3＋0＝0， 所以⊥，即AC⊥B1D.(2)解　由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0).設(shè)n＝(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，則，即令x＝1，則n＝(1，－，).設(shè)直線(xiàn)B1C1與平面ACD1所成角為θ，則sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.【思路點(diǎn)撥】證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，通常轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直進(jìn)行證明，求線(xiàn)面所成角通常利用定義作出所成角，再利用三角形求值，本題也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行解答.【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷－θ)＝.從而sin θ＝.即直線(xiàn)B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.方法二　(1)證明　易知，AB，AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)AB＝t，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).從而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0).因?yàn)锳C⊥BD，所以所以A1B1⊥平面ADD1A1，從而A1B1⊥＝AA1＝3，⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥∠ADB1＝90176。2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】19.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90176。＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去).于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)，因?yàn)椋?，在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳C⊥BD，所以∠BAC＝∠△ABC∽R(shí)t△DAB，故＝，即AB＝＝.連接AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB＋BD2＝BB＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝.在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝＝＝，即cos(90176。AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.（Ⅰ）證明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直線(xiàn)B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.【知識(shí)點(diǎn)】垂直關(guān)系 線(xiàn)面所成的角G5 G11【答案】【解析】(1)略；(2) 解析：方法一　(1)證明　如圖，因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥⊥BD，所以AC⊥平面BB1D，而B(niǎo)1D?平面BB1D，所以AC⊥B1D. (2)解　因?yàn)锽1C1∥AD，所以直線(xiàn)B1C1與平面ACD1所成的角等于直線(xiàn)AD與平面ACD1所成的角(記為θ).如圖，連接A1D，因?yàn)槔庵鵄BCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90176。＝－3＋3＋0＝0， 所以⊥，即AC⊥B1D.(2)解　由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0).設(shè)n＝(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，則，即令x＝1，則n＝(1，－，).設(shè)直線(xiàn)B1C1與平面ACD1所成角為θ，則sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.【思路點(diǎn)撥】證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，通常轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直進(jìn)行證明，求線(xiàn)面所成角通常利用定義作出所成角，再利用三角形求值，本題也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行解答.【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（理）卷－θ)＝.從而sin θ＝.即直線(xiàn)B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.方法二　(1)證明　易知，AB，AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)AB＝t，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).從而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0).因?yàn)锳C⊥BD，所以所以A1B1⊥平面ADD1A1，從而A1B1⊥＝AA1＝3，⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥∠ADB1＝90176。2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】19.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥