高二數(shù)學(xué)綜合法與分析法(20xx12)(參考版)
2024-08-16 20:34本頁面
【正文】 例 :平面內(nèi)有 n條直線 ,其中任何兩條不平行 ,任何三條不過同一點(diǎn) ,證明交點(diǎn)的個數(shù) f(n)等于 n(n1)/2. 證 :(1)當(dāng) n=2時 ,兩條直線 的交點(diǎn)只有 1個 ,又f(2)=2?(21)/2=1,因此 ,當(dāng) n=2時命題成立 . (2)假設(shè)當(dāng) n=k(k≥2) 時命題成立 ,就是說 ,平面內(nèi)滿足 題設(shè)的任何 k條直線 的交點(diǎn)個數(shù) f(k)等于 k(k1)/2. 以下來考慮平面內(nèi)有 k+1條直線的情況 .任取其中 的 1條直線 ,記作 ,除 l以外的其他 k條直線的 交點(diǎn)個數(shù) f(k)等于 k(k1)/2. 另外 ,因?yàn)橐阎魏蝺蓷l直線不平行 ,所以直線 l必與平面內(nèi)其他 k條直線都相交 ,有 k個交點(diǎn) . 又因?yàn)橐阎魏稳龡l直線不過同一點(diǎn) ,所以上面的 k個交點(diǎn)兩兩不相同 ,且與平面內(nèi)其他的 k(k1)/2個 交點(diǎn)也兩兩不相同 . 從而平面內(nèi)交點(diǎn)的個數(shù)是 k(k1)/2+k=k[(k1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)1]/2. 這就是說 ,當(dāng) n=k+1時 ,k+1條直線的 交點(diǎn)個數(shù)為 : f(k+1)=(k+1)[(k+1)1]/2. 根據(jù) (1)、 (2)可知 ,命題對一切大于 1的正整數(shù)都成立 . 說明 :用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 ,重難點(diǎn)是處理好當(dāng) n=k+1時利用假設(shè)結(jié)合幾何知識證明命題成立 . 注 :在上例的題設(shè)條件下還可以有如下二個結(jié)論 : (1)設(shè)這 n條直線互相分割成 f(n)條線段或射線 , 則 : f(n)=n2. (2)這 n條直線把平面分成 (n2+n+2)/2個區(qū)域 . 練習(xí) 1:凸 n邊形有 f(n)條對角線 ,則凸 n+1邊形的對角線 的條數(shù) f(n+1)=f(n)+_________. n1 練習(xí) 2:設(shè)有通過一點(diǎn)的 k個平面 ,其中任何三個平面或 三個以上的平面不共有一條直線 ,這 k個平面將 空間分成 f(k)個區(qū)域 ,則 k+1個平面將空間分成 f(k+1)=f(k)+__________個區(qū)域 . 2k １ :平面內(nèi)有 n條直線 ,其中任何兩條不平行 ,任何三條不過同一點(diǎn) , 證明這 n條直線把平面分成 f(n)＝ (n2+n+2)/2個區(qū)域 . 作業(yè)： 。AC,SD也是異面直線 . a C D A B L1 L2 nn n nn1 2 3n例：在各項(xiàng)為正的數(shù)列{ a } 中，數(shù)列的前n 項(xiàng)11 和s 滿足s = ( a + )2a （ 1 ）求a 、a 、a ； （ 2 ）由（1 ）猜想到數(shù)列{ a } 的通項(xiàng)公式， 并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想。2)至少兩個 . 問題二 :求證一元二次方程至多 有兩個不相等的實(shí)根 . 注 :所謂至多有兩個 ,就是不可能有三個 ,要證 “ 至多有兩個不相等的實(shí)根 ” 只要證明它的反面 “有三個不相等的實(shí)根 ” 不成立即可 . 問題 :如圖 。②立意自定。獲得對個體更細(xì)膩、清新的感受。求其放心，你的紅唇就比任何美麗色彩的涂抹， 紙媒標(biāo)
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