線(xiàn)性方程組ax=b的數(shù)值解法(j)(參考版)
2025-08-08 11:07本頁(yè)面
【正文】 則函數(shù)||X||有如下性質(zhì)： ?正定性 ： ||X||≥0， ||X||=0當(dāng)且僅當(dāng) X=0 ?齊次性 ： ||cX||=|c|而且根據(jù)線(xiàn)性代數(shù)的理論可知，如果兩個(gè)向量的 ||＊ ||1范數(shù)接近，則它們的歐幾里德范數(shù) ||＊ ||2也接近。 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 求解線(xiàn)性方程組的迭代法（續(xù) 4） ? 向量之間的距離可以用來(lái)判斷 {Pk}是否收斂到 P。 ? 定理 （雅可比迭代）設(shè)矩陣 A具有嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)，則 AX=B有唯一解 X=P。如果不能找到非零主元，則線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣是奇異的，因此線(xiàn)性方程組不存在唯一解 ? 選主元以避免 ，如果此主元非零，則不換行；如果此主元為零，則尋找第 p行下滿(mǎn)足 的第 1行，將此行與第 p行互換，使新主元非零。39。 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 上三角線(xiàn)性方程組（續(xù) 1） ? 定理 如果 N N矩陣 A=[aij]是上三角矩陣或下三角矩陣，則 1 1 2 21d e t( )NNN iiiA a a a a??? ?? 條件 akk≠0很重要，因?yàn)榛卮惴ㄖ邪瑢?duì) akk的除法。華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 線(xiàn)性方程組的解（續(xù) 1） ?求逆運(yùn)算和行列式計(jì)算由于運(yùn)算量大，實(shí)際求解過(guò)程中基本不使用，僅作為理論上的定性討論 ?克萊姆法則在理論上有著重大意義，但在實(shí)際應(yīng)用中存在很大的困難，在線(xiàn)性代數(shù)中，為解決這一困難給出了高斯消元法 ?還有 三角分解法 和 迭代求解法 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 解法分類(lèi) ?關(guān)于線(xiàn)性方程組的數(shù)值解法一般有兩類(lèi) ?直接法：若在計(jì)算過(guò)程中沒(méi)有舍入誤差，經(jīng)過(guò)有限步算術(shù)運(yùn)算，可求得方程組的精確解的方法 ?迭代法：用某種極限過(guò)程去逐步逼近線(xiàn)性方程組精確解的方法 ?迭代法具有占存儲(chǔ)單元少，程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，原始系數(shù)矩陣在迭代過(guò)程中不變等優(yōu)點(diǎn)，但存在收斂性及收斂速度等問(wèn)題 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 上三角線(xiàn)性方程組 ?定義 N N矩陣 A=[aij]中的元素滿(mǎn)足對(duì)所有 ij，有 aij=0，則稱(chēng)矩陣 A為上三角矩陣；如果 A中的元素滿(mǎn)足對(duì)所有 ij，有 aij=0，則稱(chēng)矩陣 A為下三角矩陣。 ? 線(xiàn)性代數(shù)方面的計(jì)算方法就是研究求解線(xiàn)性方程組的一些數(shù)值解法與研究計(jì)算矩陣的特征值及特征向量的數(shù)值方法。2022/8/28 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 第 3章 線(xiàn)性方程組AX=B的數(shù)值解法 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 引言 ? 在自然科學(xué)和工程技術(shù)中很多問(wèn)題的解決常常歸結(jié)為解線(xiàn)性代數(shù)方程組。例如電學(xué)中的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題，船體數(shù)學(xué)放樣中建立三次樣條函數(shù)問(wèn)題，用最小二乘法求實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線(xiàn)擬合問(wèn)題，解非線(xiàn)性方程組問(wèn)題，用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程邊值問(wèn)題等都導(dǎo)致求解線(xiàn)性方程組，而且后面幾種情況常常歸結(jié)為求解大型線(xiàn)性方程組。 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 線(xiàn)性方程組求解問(wèn)題 ? 考慮線(xiàn)性方程組 Ax = b ? 其中 A是一個(gè) (n n)的非奇異矩陣 , x是要求解的 n維未知向量 , b是 n維常向量 ???????????????????????????????????????????nnnnnnnnbbb xxxaaaaaaaaa??????2121212222111211nnnnnnnnnn b x a x a xa b x a x a xa b x a x a xa????????????????22112222212111212111華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 線(xiàn)性方程組的解的存在性和唯一性 ?定理 設(shè) A是 N N方陣，下列命題等價(jià)： ?給定任意 N 1矩陣 B，線(xiàn)性方程組 AX=B有唯一解 ?矩陣 A是非奇異的（即 A1存在） ?方程組 AX=0有唯一解 X=0 ?det(A) ≠0 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 線(xiàn)性方程組的解 ? 最常見(jiàn)的求線(xiàn)性方程組 Ax=b的解的方法是在方程組兩側(cè)同乘以矩陣 A的逆 ? Gram法則： bAAxA 11 ?? ?bAx 1 ??Ax = b 1 , 2 , ...,D d e t( A ) 0 d e t( )iii i iDx i nDD A A Aib??? ? ?，其中， ， 是 的第列用 代替所得。 ?定理 （回代）設(shè) AX=B是上三角線(xiàn)性方程組，如果 akk≠0，其中 k=1,2,…, N，則該方程組存在唯一解。如果條件不滿(mǎn)足，則可能無(wú)解或有無(wú)窮解 ? 聯(lián)系定理 ，可知要條件 akk≠0成立才能保證方程組存在唯一解 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 上三角線(xiàn)性方程組（續(xù) 2） ?求解上三角線(xiàn)性方程組的回代算法 ......nnnab x ?1121111131321211)()(axabax a x a xabxnkkknn???????? ??... 1... ,11... 1,1 ????? ? nnnnnnn b x + axa ax ab xnnnnnnn . . .1,1. . .,1. . .11????? ???最后 . . .. . .333332232322211313212111nnnnnnnnnn b xab xa xab xa xa xa b x a x a x a xa???????????????????????????華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 上三角線(xiàn)性方程組的求解 ?基本算法： 12, .. .11,ni) / uxu(bx/ubxiin
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