三角形的證明(參考版)
2025-08-07 22:50本頁面
【正文】 例2已知：如圖，在四邊形 ABCD 中，AD∥BC，BC = DC，CF 平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延長線交 DC 于點(diǎn) E. 求證：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD = DE.聯(lián)結(jié) BD證明：∵CF 平分∠BCD ∴∠ADB=∠CDB∴∠BCF=∠DCF ∵DF∥AB在△BCF 和△DCF 中 ∴∠ABD=∠BDFBC=CD BF=DF∠BCF=∠DCF ∴∠FDB=∠FBDCF=CF ∴∠ABD=∠FBD∴△BCF ≌ △DCF（SAS） 在△ABD 和△EBD 中∴BF=DF ∠ABD=∠EBD(2) ∵AD∥BC BD=BD∴∠ADB =∠CBD ∠ADB=∠EDB∵BC = DC ∴△ABD ≌ △EBD （ASA）∠CBD=∠CDB ∴AD = DE。求證：DE=DF。則∠COF=60176。；∴∠AOC=∠DOE=120176。則∠AOC=180176。AD、CE 分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC=AE+CD證明：在AC上取AF=AE，連接OF∵AD平分∠BAC、∴∠EAO=∠FAO，在△AEO與△AFO中，AE＝AF∠EAO＝∠FAOAO＝AO∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE=∠AOF；∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180176?！郆D=FC ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD。如圖（1）在AB上截取AF=AC，連結(jié)EF在△ACE和△AFE中∴△ACE≌△AFE（SAS）∴∵AC∥BD∴∵∴∠6=∠D在△EFB和△BDE中∴△EFB≌△EDB（AAS）AB＝AC+BD分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。在△AON與△BOM中AN=BM∠NAO=∠BOA=OB∴△AON≌△BOM（SAS）∴ON=OM，∠NOA=∠MOB∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM∴∠NOM=∠AOB=90176。O為BC的中點(diǎn)，∴OA=∴AD⊥CE．例2 .如圖在 Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90176?！唷螱CF+∠CGF=90176?！郃D⊥CE；（2）AD=CE，AD⊥CE，理由如下如圖2：∵∠ABC=∠DBE=90176?！唷螱CF+∠CGF=90176。DB=BE，AB=BC．(1)求證：AD=CE，AD⊥CE (2)若△DBE 繞點(diǎn) B旋轉(zhuǎn)到△ABC 外部，其他條件不變，則(1)中結(jié)論是否仍成立?請(qǐng)證明（1）證明：如圖1∵∠ABC=∠DBE=90176?！拘〗Y(jié)】解題后的思考：①關(guān)于角平行線的問題，常用兩種輔助線；②見中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線。在 ΔA
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