高三數(shù)學(xué)三角函數(shù)的最值(參考版)
2024-11-15 08:50本頁面
【正文】 1 2 3 4 若 a =2, 則 a= . 3 10 綜上所述 , a 的值為 6 或 . 3 10 。 2 a 4 a2 4 a 1 2 g(t) 在 [0, 1] 上為增函數(shù) . ∴ M(a)=g(1)= a . 1 2 3 4 , a0, 1 2 4 a ∴ M(a)= + , 0≤ a≤ 2, 4 a2 4 a 1 2 a , a2. 1 2 3 4 若 + =2, 即 a2a6=0, 4 a2 4 a 1 2 (2)由 (1)知 , 若 =2, 則 a=6。 (2)當(dāng) M(a)=2時(shí) , 求 a 的值 . 4 a 1 2 2 ? 解 : (1)f(x)=sin2x+asinx + . 4 a 1 2 令 t=sinx, 則 0≤ t≤ 1, 故有 : f(x)=g(t)=t2+at + =(t )2+ + (0≤ t≤ 1). 4 a 1 2 2 a 4 a2 4 a 1 2 要求 f(x) 的最大值 M(a), 可分情況討論如下 : g(t) 在 [0, 1] 上先增后減 . g(t) 在 [0, 1] 上為減函數(shù) . ① 當(dāng) 0, 即 a0 時(shí) , 2 a ∴ M(a)=g(0)= 。 (3)在 (2) 的條件下 , 求滿足 f(x)=1 且 x?[?, ?] 的 x 的集合 . 2 ? 解 : (1)f(x)=1+cos2x+ 3 sin2x+a =2sin(2x+ )+a+1. 6 ? 由 2k? ≤ 2x+ ≤ 2k?+ 得 : 6 ? 2 ? 2 ? k? ≤ x≤ k?+ . 3 ? 6 ? ∴ f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 [k? , k?+ ](k?Z)。 5 4 當(dāng) t=1 時(shí) , P 取最小值 1. 5 4 從而 P 的取值范圍是 [1, ]. f(x)=2cos2x+ 3 sin2x+a(a?R), (1)若 x?R, 求 f(x) 的單調(diào)增區(qū)間 。 當(dāng) 0≤ sin?1 時(shí) , m 恒成立 . 1+sin2? 2(1sin?) 令 t=1sin?, 則 t?(0, 1], 且 2t 1+(1t)2 1 t 2 t m =1( + ) 恒成立 . 易證 g(t)=1( + ) 在 (0, 1] 上單調(diào)遞增 , 有最大值 , 1 t 2 t 1 2 ∴ m . 1 2 即 m 的取值范圍是 ( , +∞ ). 1 2 ? ?[0, ], 且 cos2?+2msin?2m20 恒成立 , 求 m 的取值范圍 . 2 ? 0≤ ?≤ ?, P=sin2?+sin?cos?. (1)若 t=sin?cos?, 用含 t 的式子表示 P。 ∴ m0。 若 a1, 即 a1, 則當(dāng) t=1 時(shí) , y 有最大值 M=(1+a)2+a2a+1=3a. 綜上所述 , M= a2a+1, 1≤ a≤ 1, 3a, a1, a, a1. a≥ 0 時(shí) , 求函數(shù) f(x)=(sinx+a)(cosx+a) 的最大值、最小值以及相應(yīng)的 x 的取值 . 解 : f(x)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2 f(x)=g(t)= (t21)+at+a2 1 2 = [(t+a)2+a21]. 1 2 ∵ a 為常數(shù) , ∴ 只需求 y=(t+a)2 的最值 . ∵ t?[ 2 , 2 ], 且 a≥ 0, ∴ 當(dāng) t= 2 , 即 x=2k?+ (k?Z) 時(shí) , f(x) 取最大值 a2+ 2 a+ . 4 ? 1 2 若 0≤ a≤ 2 , 則 2 ≤ a≤ 0
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