20xx年計算力學(xué)第5課(參考版)
2024-08-15 10:07本頁面
【正文】 平面問題的有限元法 iuc?1010 iick??1 11 12 13 1 12 21 22 23 2 23 31 32 33 3 31 2 3nnnn n n n nn nF k k k k dF k k k k dF k k k k dF k k k k d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 43 ?應(yīng)力計算 ? 環(huán)節(jié)點(diǎn)平均法 ? 兩單元平均法 平面問題的有限元法 44 小結(jié) 。引入約束條件的方法有二種： ? 若已知 ，可將 [K]中主對角線上的元素?fù)Q成 1，以及它所作的第 i行和第 i列上的其余元素?fù)Q成 0，在荷載列陣種對應(yīng)于的量換成 c，其余不動。 體積力 ： 設(shè)單元體內(nèi)單位體積上作用的體積力為 將移置到節(jié)點(diǎn)上后的單元節(jié)點(diǎn)荷載記為 根據(jù)靜力等效原則，給單元一個虛位移 表面力 ：與體積力類似 平面問題的有限元法 { } { } TxyG G G?(){}eG{}uv??{}{ } { } { }ex eTeeyVGu v d V G dG? ? ??? ????????{ } [ ] { } { } { } [ ] { } { } [ ]T T T T T Te e ed N d d d N d d N??? ? ? ? ? ?{}{ } [ ] { } { } { }eT T T ee e eVd N G d V d G??????? {}{ } [ ] { }eeT eVN G d V?? ???{}{ } [ ] { }eeT eSp N p d S? ?? 41 整體荷載列陣 平面問題的有限元法 ( ) ( ){ } ( { } { } { } )eer r r rP G p Q? ? ??12{ } { { } { } { } }T T T TmP P P P?? 42 ?邊界條件處理 無約束的彈性體 (或結(jié)構(gòu)物 )的整體剛度矩陣 [K]是奇異的，即 det[K]＝ 0，方程的解不唯一。 平面問題的有限元法 30 ?等參元應(yīng)變矩陣 (任意直邊四邊形單元為例 ) 位移函數(shù) 由應(yīng)變位移關(guān)系式 平面問題的有限元法 i i j j k k m mi i j j k k m mu N u N u N u N uv N v N v N v N v? ? ? ???? ? ? ??{ } [ ] { } [ [ ] [ ] [ ] [ ] ] { }e i j k m euxvB d B B B B dyuvyx??? ???????? ?? ? ?????????????????{ } [ ]{ } ed N d??0[ ] 0iiiiiNxNByNNyx???????????? ??????????????? 31 的計算問題，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 由于不能列出 x， y表示 x， h的顯式，故也無法求得 的算式，因此無法求得 ，改用求逆的方法于是形函數(shù)對 x， y的導(dǎo)數(shù)應(yīng)為 平面問題的有限元法 r r rr r rN N NxyxyN N Nxyxyx x xh h h? ? ???????? ? ? ? ???? ? ??????? ? ? ? ? ??,iiNNxy????[]r rrrrrN xy NNxxJNNN x yyyx x xhhh? ???? ?? ??? ? ? ??? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?????, , ,x y x yx x h h? ? ? ?? ? ? ?,iiNNxy????1[]rrr rNNxJN Nyxh??????????? ??? ? ? ??? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ???? ?? 32 ?等參元應(yīng)力矩陣 平面問題的有限元法 { } [ ] [ ] { } [ ] { } [ [ ] [ ] [ ] [ ] ] { }e e i j k m eD B d S d S S S S d? ? ? ?2[ ] [ ] [ ]11122iiiiiiiiNNxyNNES D BxyNNyx???????????????????? ? ????????????? 33 ?等參元的剛度矩陣 等參元的剛度矩陣仍用式 計算，只不過式中的微面積 dxdy應(yīng)換成 所包圍的四邊微分元面積。所以等參元的收斂性是不用擔(dān)心的。 以兩個曲四邊等參元為例 平面問題的有限元法 I II s2 s1 s3 s4 s1 s2 s3 s4 6 5 7 8 1 2 3 4 28 由于平面問題只需檢查位移本身的連續(xù)性。 平面問題的有限元法 i i j j k k m mi i j j k k m mu N u N u N u N uv N v N v N v N v? ? ? ???? ? ? ??i i j j k k m mi i j j k k m mx N x N x N x N xy N y N y N y N y? ? ? ???? ? ? ?? 24 ?曲四邊等參元 由于標(biāo)準(zhǔn)元為 16個自由度，因此，位移函數(shù)多項式為 平面問題的有限元法 2 2 2 21 2 3 4 5 6 7 82 2 2 29 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6uv? ? x ? h ? x ? x h ? h ? x h ? x h? ? x ? h ? x ? x h ? h ? x h ? x h?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? 25 上式中的常數(shù)用 8節(jié)點(diǎn)位移表示出來，則得到計算元的位移函
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