【正文】 類氫離子的能級(jí)公式為： ?? ,3,2,12 2224??? nnZeE n ?返回 （ 1） 原子中的電流密度 ),()( ??? lmnlnln lm YrRN?]**[2 n lmn lmn lmn lme ieJeJ ????? ??????? ???????? ??????????s i n11 000rrrr??? 代入球坐標(biāo)中梯度 則 000 ???????? jjrjJre ???（四）原子中的電流和磁矩 1. 由于 ψ nlm 的徑向波函數(shù) Rnl(r) 和與 ? 有關(guān)的函數(shù)部分 Plm(cos?) 都是實(shí)函數(shù) ， 所以代入上式后必然有： 2. 繞 z 軸的環(huán)電流密度 j? 是上式電流密度的 ?o 向分量： ?????? ?????? **s i n12 n lmn lmn lm。正好與例 2相反，在 ? = 0時(shí)，最大；在 ? =π/2 時(shí)，等于零。 1 = 0。 在 ? = π/ 2時(shí) ， 有最大值 。 1時(shí) ， W1,177。 該幾率與 ? 角無(wú)關(guān) 例 1. ?=0, m=0， 有 ： W00 = (1/4?)， 與 ? 也無(wú)關(guān) ， 是一個(gè)球?qū)ΨQ分布 。在量子力學(xué)中是通 過解 Schrodinger方程自然而 然地導(dǎo)出的，這是量子力學(xué) 發(fā)展史上最為突出的成就之 一。氫原子能級(jí)和相應(yīng)的本征函數(shù)是： （ 1）能級(jí) 1. 基態(tài)及電離能 2. 氫原子譜線 1734 100 9 ???? mCeR H ??? RH是里德堡常數(shù)。電子相對(duì)于核運(yùn)動(dòng)的波函數(shù) ? (r) 所滿足的方程，相對(duì)運(yùn)動(dòng)能量 E 就是電子的能級(jí)。 相對(duì)坐標(biāo)和質(zhì)心坐標(biāo)下 Schrodinger 方程形式為： ????????? ?????? TrR ErV )(2)(2222212?????????????? ?????? TrR ErV )(2)(2222212?????)()( Rr ?? ???? TrR EV ??????? ?????????? ??? ???????222212 121)(2?? 于是： ????????????????)()()()(2)()()()(2221222REERrErrVrTRr???????????????第二式是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程， 說(shuō)明質(zhì)心以能量 (ETE) 作自由運(yùn)動(dòng)。 （一）二體問題的處理 （ 1） 基本考慮 I 一個(gè)具有折合質(zhì)量的粒子在場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) II 二粒子作為一個(gè)整體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng) 。 4 氫原子 量子力學(xué)發(fā)展史上最突出得成就之一是對(duì)氫原子光譜和化學(xué)元素周期律給予了相當(dāng)滿意得解釋。 令： )1(2)1( ?????? llll ? ? ?0)( 2222 )1(22 ?????? ??? uu rllreE ?? ??112224 ?????????????? rnlnneE??本 征 能 量 224 12 ???????????? lnl neE???(?+1)2λ = ?’(?’+1) = (? Δ ?)(? Δ ? +1) = ?(?+1)(2? +1) Δ ? +Δ ? 2 21122????? lll??由于 λ 1 ， 二級(jí)小量可略。 例： 原子外層電子（價(jià)電子）所受原子實(shí)（原子核及內(nèi)層電子） 的平均作用勢(shì)可以近似表示為： 2222210)(earearerV???????????其中求 價(jià)電子能級(jí) 。 P? m(ζ )的宇稱 由 P? m(ζ ) 封閉形式知 ,其 宇稱決定于 lmlmldd )1( 2 ??? ??又因?yàn)? (ζ 21)? 是 ζ 的偶次冪多項(xiàng)式，所以 當(dāng)微商次數(shù) ( ? + m ) 是奇數(shù)時(shí)，微商后得到一個(gè)奇次冪多項(xiàng)式，造成在 ζ → ζ 變換時(shí)，多項(xiàng)式改變符號(hào) ， 宇 稱 為 奇 ； 當(dāng)微商次數(shù) ( ? + m ) 是偶數(shù)時(shí)，微商后得到一個(gè)偶次冪多項(xiàng)式，造成在 ζ → ζ 變換時(shí)，多項(xiàng)式符號(hào)不變，宇 稱 為 偶 。 于是波函數(shù)作如下變化 1. exp[im?] ? exp[im(?+?)] = (1)m exp[im?]， 即 exp[im?] 具有 m 宇稱。當(dāng)價(jià)電子在 r1 和 r2 兩點(diǎn)，有效電荷是不一樣的， Z e2 / r 隨著 r 不同有效電荷 Z 在改變，此時(shí)不再是嚴(yán)格的點(diǎn)庫(kù)侖場(chǎng)。這個(gè)場(chǎng)不再是點(diǎn)電荷的庫(kù)侖場(chǎng)，于是價(jià)電子的能級(jí) Enl僅對(duì) m 簡(jiǎn)并。這是由于庫(kù)侖場(chǎng)具有比 一般中心力場(chǎng) 有更高的對(duì)稱性 的表現(xiàn)。但是對(duì)于庫(kù)侖場(chǎng) Ze2/r 這種特殊情況，得到的能量只與 n = nr+ ? + 1有關(guān)。 n = nr+ ? + l ? = 0,1,2,... nr = 0,1,2,... （ 2）能級(jí)簡(jiǎn)并性 （ 3）簡(jiǎn)并度與力場(chǎng)對(duì)稱性 由上面求解過程可以知道，由于庫(kù)侖場(chǎng)是球?qū)ΨQ的，所以徑向方程與 m 無(wú)關(guān)， 而與 ? 有關(guān)。 n = 1 對(duì)應(yīng)于能量最小態(tài)，稱為基態(tài)能量， E1 =μZ 2 e4 / 2 ?2，相應(yīng)基態(tài)波函數(shù)是 ψ 100 = R10 Y00， 所以基態(tài)是非簡(jiǎn)并態(tài)。 共 2? + 1 個(gè)值 。 2,...., 177。當(dāng) ? 確定后 ， m = 0,177。將這些系數(shù)代入 f ( ?)表達(dá)式得： ??????????????010101100)(bbbbbflnlllnsn r?????????????????)(])![()!1()!12()()32)(22()!1(1)2)(1()1()32)(22(!2)2)(1()22(!111)(12112011210???????????????????????????????????????????????????lnllnlnlLlnlnlblnlllnlnlnlllnlnllnbf???!)!12()!1(])![()1()( 2110121 ????? ??? ???????? ?????? ? llnlnL lnln式中其封閉形式如下： 締合拉蓋爾多項(xiàng)式 rna Zr02?? ??注意到：????????????????? ??? rnaZLrnaZeNrR llnlrnaZnlnl012022)( 0總 波 函 數(shù) 為： ),()(),( ????? lmnln l m YrRr ?至此只剩 b0 需要?dú)w一化條件確定 則徑向波函數(shù)公式： ?????????? ?? )()()()()( 1212/2/ ????? ???? l lnlnlnlnlLAefeurrurR22224222228||8???? neZneZE ????? ???徑向波函數(shù) 22002eanaZ???? 其中第一 Borh 軌道半徑 )(122/ ??? ???? l lnlnl LeN1)(s i n)( 2200 *22* ??? ?? ?? ?? drrrRddYYdrrrRd nllmlmnln l mn l m ??????使用球函數(shù)的 歸一化條件： 利用拉蓋爾多項(xiàng)式的封閉形式采用與求諧振子波函數(shù)歸一化系數(shù)類似的方法就可求出歸一化系數(shù)表達(dá)式如下： 2/1330 ])![(2)!1(2???????????????????????lnnlnnaZNnl從而系數(shù) b0 也就確定了 （四）歸一化系數(shù) 下面列出了前幾個(gè)徑向波函數(shù) R n l 表達(dá)式： ? ?? ?? ?? ?? ?? ?raZZaZraZaZaZraZaZaZraZaZraZaZraZaZaZaZaZaZaZerrRrerrRerrrRrerRerrRerR030003000030000200020000215812/323138132722/32312274342/333032/32212/32202/310)()(][)(])(2[)()()2()(2)(????????????????（ 1）本征值和本征函數(shù) lmnlYrRrnneZElmnln l mn???????????????,2,1,01,2,1,0),()(),(,3,2,122242??????????當(dāng) E 0 時(shí)，能量是分立譜，束縛態(tài)，束縛于阱內(nèi)，在無(wú)窮遠(yuǎn)處，粒子不出現(xiàn)，有限運(yùn)動(dòng) ,波函數(shù)可歸一化為一。 與諧振子問題類似，為討論 f (ρ) 的收斂性現(xiàn)考察級(jí)數(shù)后項(xiàng)系數(shù)與前項(xiàng)系數(shù)之比： 最高冪次項(xiàng)的 ν max = nr 令 ???????? 001rrnnbb注意 此時(shí)多項(xiàng)式最高項(xiàng) 的冪次為 nr+ ? + 1 0)22)(( 11 ???? ?????rr nrrrn blnlnlnb ?則 nln r ???? 1? 010??????lnbrn r分子所以因?yàn)橛谑沁f推公式改寫為 ???????角量子數(shù)徑量子數(shù)??,2,1,0,2,1,0ln r量 子 數(shù) 取 值 主量子數(shù)?? ?,3,2,1n由 ? 定 義 式 ???3,2,12||||||222422?????nneZEEEZen??? 由此可見，在粒子能量 小于零情況下（束縛態(tài)） 僅當(dāng)粒子能量取 En 給出 的分立值時(shí)，波函數(shù)才滿 足有限性條件的要求。 2. ρ→∞ 時(shí)， f (ρ) 的收斂性 如何？ 需要進(jìn)一步討論。 s = ?+1 高階項(xiàng)系數(shù)： [(ν+ s + 1)(ν+ s ) ?(? + 1)]bν+1+(βνs)bν = 0 系數(shù) bν的遞推公式 ?? ???? bllsssb)1())(1()(1 ????????????????????blllblllll)22)((1)1()1)(2(1?????????????????注意到 s = ?+1 上式之和恒等于零，所以 ρ 得各次冪得系數(shù)分別等于零，即 （ 三 ） 使用標(biāo)準(zhǔn)條件定解 （ 3）有限性條件 （ 1）單值； （ 2）連續(xù)。=ν1 第一個(gè)求和改為 : 把第一個(gè)求和號(hào)中 ν= 0 項(xiàng)單獨(dú)寫出，則上式改為 ： ???? ??????????????0 11)]1()11)(1[(? ?? ??? sbllss再將標(biāo)號(hào) ν39。 0)1(||84112 222222??????? ?????????????????? urllErZedrud????||22||82222EZeZeE????????????令 0)1(4 22??????? ?????? urllru???22222??