【正文】 2)]c o s ()[ c o s (s i ns i n||222??????????????????????第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 第一章作業(yè)： 只做 600nm (3) (4) 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) —— the end —— 。c o ss i ns i n)。2c o s121)s i n。需計(jì)算其平均值 (4) 將動(dòng)量平方算符 作用到 ψ2(x)上，得 2222P?dxdx ???)(2s i n2422s i n2)(P? 22222222222 xahaxaahaxadxdxx ???? ??????? ????????????? ???????? ?因此動(dòng)量 Px2具有確定值，為 22ah第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 例題 2： 粒子在一維箱中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由 ψ(x)描述，求粒子的能量或能量平均值。 222() xx S inaa?? ???? ????解： (1) 一維箱中 V = 0， ， 將其作用到 ψ2(x)上 222H?dxdm???222() ()2dx Exm d x? ?? ? ?代入邊界條件： x ≤ 0和 x ≥ a時(shí)， ψ(x)=0可得： 2228nnhEma?所以能量 E有確定值。若有，求它們的確定值；若沒(méi)有，求它們的平均值。 ,x y zn n n, ( , , )x y zn n n x y z?,x y zn n nE,x y zn n n222x y znnn??例如，狀態(tài) 的能量都是 ，因此，能級(jí) 是簡(jiǎn)并的，其簡(jiǎn)并度為 3。即在立方箱的情況下，同一能量對(duì)應(yīng)著不止一種狀態(tài) ，這種能級(jí)稱(chēng)為簡(jiǎn)并的。8zz zzn z n hz S in E ncc mc?? ??? ? ? ?????, , 1 2 3( , , ) ( ) ( ) ( )8 x y zn n nyx zx y z x y znynx nzSin Sin Sinab c a b c? ? ? ??? ?????? ???? ?? ???????? ??22 22, 2 2 28x y zyx zn n n x y znn nhE E E Em a b c??? ? ? ? ? ?????第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) , , 1 2 3( , , ) ( ) ( ) ( )8 x y zn n nyx zx y z x y znynx nzSin Sin Sinab c a b c? ? ? ??? ?????? ?????? ???? ??????22 22, 2 2 28x y zyx zn n n x y znn nhE E E Em a b c??? ? ? ? ? ????? 長(zhǎng)方箱中，每一組 確定一個(gè)狀態(tài)，并對(duì)應(yīng)一個(gè)能量 ，將這些狀態(tài)記為 ，一個(gè)能量只能對(duì)應(yīng)一個(gè)狀態(tài)。8xx xxn x n hx S in E naa ma?? ??? ? ? ?????222 22( ) , , 1 , 2 , 。dinger方程 分解成三個(gè)一 維箱中粒子 Schr246。dinger方程： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22222 2 2, , , , , , , , 02x y z x y z x y z E V x y zm x y z??? ?????? ? ? ? ? ???? ? ???? ?, , 0x y z? ?在箱子外部，因?yàn)?V = ∞， 。 節(jié)點(diǎn)數(shù) =n1. 當(dāng) n=1 n=2 n=3…… 時(shí) 節(jié)點(diǎn)數(shù) = 0 1 2 …… 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 二、三維勢(shì)箱中的粒子 在箱內(nèi) V=0，粒子被束縛在邊長(zhǎng)分別為 a、 b、 c的 箱內(nèi)； 在箱外 V = ∞ 。 (4) ψ 可以 、 =或 0。 ????????axSi nax?? 2)(1221 8mahE ?一維箱中兩個(gè)相鄰能級(jí)間隔： 221 8)12(mahnEEEnn??????討論： m較大、 a也較大時(shí)，量子化不顯著 m較小、 a也較小時(shí)，量子化顯著 由于一維箱中粒子的勢(shì)能 V = 0， 所以粒子的能量全部為動(dòng)能。 n=1時(shí)， E最小， ，稱(chēng)為零點(diǎn)能。 228hma() nxx B S in a?? ??? ????此時(shí) 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 1. 求歸一化常數(shù) B 220 1a nxB S in d xa??? ??????歸一化條件 22122nxC osnx aSin????? ???? ???????代入上式得 22 2 20021122aanxC osn x aBaB Si n dx B dxa?? ??? ? ? ???????2Ba?因此積分常數(shù) 2()nnxx S inaa?? ???? ????2228nnhEma?得到的描述一維箱中粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的波函數(shù) ψn(x)及相應(yīng)的能量 En為 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 2. 結(jié)論 注意 :能量 En與波函數(shù) ψ(x)是一一對(duì)應(yīng)的 : 1 2() xx S inaa?? ???? ????21 28hEma?2 22() xx S inaa?? ???? ????22 248hEma?(1) 一維箱中粒子可以存在的能級(jí) En、相應(yīng)的波函數(shù) ψn(x)及幾率密度 |ψn(x)|2： n=1時(shí)： ???????? axSi nax?? 2)(1221 8mahE ????????lllx2)2(21? ??? ?? 0)(1 llx??????0)0(01?x第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) n=2時(shí)： ????????axSi nax?? 22)(2222 84mahE ????????0)2(22llx? ?????0)(2 llx???? ?? 0)0( 02?x???????lllx2)4(42? ????????lllx2)43(432?n=3時(shí)： ????????axSi nax?? 32)(3223 89mahE ?????????lllx2)63(633????????0)( ,32 ,3 ,03 xlllx? ???????lxllx2)(65 ,63?第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) (2) 能量只能取分立的數(shù)值，是量子化的。, B =A A B A B i? +令： 22() m E m Ex A C o s x B S in x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?于是 邊界條件：當(dāng) x ≤ 0 和 x ≥ a 時(shí)，波函數(shù)必須等于零，即 ( 0 ) ( ) 0a????由 ψ(0)=0得： A cos0 + B sin0 = 0， 所以： A = 0 2() mEx B S in x? ????????這樣 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 2 0mEB S in a????????又由 ψ(a) = 0得： 2 0mES i n a????????B不能為 0，欲使上式成立，則 ， n = 1， 2， 3， …… 。 39。22() m E m Ex A B C o s x A B iS in x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?上式也可寫(xiě)作 ? ?39。 39。( ) e x p 2 e x p 2iix A m E x B m E x? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?通解為 ? ? ? ?39。 222( ) 2 ( ) 0d x m E xdx? ???即 222 0mEr ??其特征方程為 22 2m E ir i m E? ? ? ? ?其特征根為 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 39。dinger方程及其解 一、一維箱中的粒子 一維箱中粒子的 Schr246。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 167。它們不受 Pauli禁律的約束。這種粒子組成的體系，其波函數(shù)必須是 反對(duì)稱(chēng)的。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 3. Fermi子和 Bose子 Fermi子 —— 電子、質(zhì)子、中子等自旋量子數(shù) s為半整數(shù)的粒子。 ψ究竟是對(duì)稱(chēng)還是反對(duì)稱(chēng)則由粒子自身的性質(zhì)決定。 例如，一個(gè) 2粒子體系，其狀態(tài)可用波函數(shù) ψ(q1, q2)描述， (q2, q1)代表粒子 1和粒子 2交換坐標(biāo)后的狀態(tài)。 (1) Zeeman效應(yīng) —— 磁場(chǎng)中觀察到的光譜譜線出現(xiàn)分裂的現(xiàn)象。 證明：設(shè) ψn是算符 和 的屬于本征值 ln和 mn的本征函數(shù)，則 ?L ?M? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?L M L = L =? ? ? ?ML M = M =n n n n n n n nn n n n n n n nm m m ll l m l? ? ? ?? ? ? ???? ?? ? ? ?L M M L 0n???兩式相減 ? ? ? ?L M M L 0??所以： 例如，坐標(biāo) x和動(dòng)量 Px的算符不可相互對(duì)易，因此它們沒(méi)有共同的本征函數(shù)系，從而也不能同時(shí)具有確定值 —— 測(cè)不準(zhǔn)原理。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 由假設(shè) 4可知， ψ所描述的狀態(tài)中，力學(xué)量 M平均值 M 在