【正文】 212。 則 (212。+ = (212。 219。 212。 , 219。 219。 上 式 (2) 稱為 算 符 的 本 征 值 方 程 。 算符對(duì)應(yīng)的本征值應(yīng)該是實(shí)數(shù)。 因?yàn)樗辛W(xué)量的數(shù)值都是實(shí)數(shù)，而表示力學(xué)量的算符的本征值就是測(cè)量此力學(xué)量的可能值，所以，表示力學(xué)量算符的本征值必須為實(shí)數(shù)?！? 希爾伯特 （一）動(dòng)量算符 （ 1）動(dòng)量算符的厄密性 （ 2）動(dòng)量本征方程 （ 3）箱歸一化 （二）角動(dòng)量算符 （ 1）角動(dòng)量算符的形式 （ 2）角動(dòng)量本征方程 （ 3）角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系 （ 4）角動(dòng)量升降階算符 167。 x y z A A’ o L 在箱子邊界的對(duì)應(yīng)點(diǎn) A, A’ 上加上其波函數(shù)相等的條件，此邊界條件稱為周期性邊界條件。 （ 2）從這里可以看出，只有分立譜才能歸一化為一，連續(xù)譜歸一化為 ? 函數(shù) （ 3） ?p(r) exp[–iEt/?] 就是自由粒子波函數(shù)，在它所描寫(xiě)的狀態(tài)中，粒子動(dòng)量有確定值，該確定值就是動(dòng)量算符在這個(gè)態(tài)中的本征值。 此方程球諧函數(shù)方程，其求解 方法在數(shù)學(xué)物理方法 中已有詳細(xì) 的講述。 2, 177。 換言之，對(duì)應(yīng)一個(gè) ?值有 (2 ? +1)個(gè)量子狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為簡(jiǎn)并， ? 的簡(jiǎn)并度是 (2 ? +1) 度。dinger 方程 （二）求解 Schrodinger 方程 （三）使用標(biāo)準(zhǔn)條件定解 （四）歸一化系數(shù) （五）總結(jié) 返回 ?????????? ErZerrrr ???????? ????????????? 2222222 s i n 1)( s i ns i n1)()1(2?體系 Hamilton 量 rZeH 2222? ??????H的本征方程 ??? ErZe ??????? ???2222?對(duì)于勢(shì)能只與 r 有關(guān)而與 θ, ? 無(wú)關(guān)的有心力場(chǎng)，使用球坐標(biāo)求 解較為方便。= 0 ? ? ?2 0)]([)]1()1)([()]1()1([011220?????????????????????????????????????sssbsbllssbllss(II) 求級(jí)數(shù)解 令 0)( 00?? ???? bbf s??? ??為了保證有限性條件要求： 當(dāng) r → 0 時(shí) R = u / r → 有限成立 ?????100sb即 0)]([)]1()1)([(0102 ????????? ?? ?????????????? ?????? ss bsbllss0)()1()()( 2 ??????? ??????? ?????? fllff代入方程 令 ν39。 二條件滿足 1. ρ→ 0 時(shí)， R(r) 有限已由 s = ? + 1 條件所保證。 ??3,2,12 2242????nneZE n?? En 0 )()( mkkkmmk eddeL ???? ??????0)22)(( 11 ???? ????? ?? ?? ? bll nlb將 β= n 代入遞推公式： 利用遞推公式可把 b1, b2, ..., bn?1 用 b0 表示 出來(lái)。 1,177。 所以對(duì)于 E n 能級(jí)其簡(jiǎn)并度為： 210)12( nlnl?????即對(duì)能量本征值 En由 n2 個(gè)本征函數(shù)與之對(duì)應(yīng)，也就是說(shuō)有 n2 個(gè) 量子態(tài)的能量是 En。因此，對(duì)一般的有心力場(chǎng)，解得的能量 E 不僅與徑量子數(shù) nr有關(guān)，而且與 ? 有關(guān)，即 E = Enl，簡(jiǎn)并度就為 (2 ? +1) 度。 當(dāng)考慮 Li, Na, K 等堿金屬原子中最外層價(jià)電子是在由核和內(nèi)殼層電子所產(chǎn) 生的有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。 （ 4）宇稱 當(dāng)空間反射時(shí) rr ?? ??球坐標(biāo)系的變換是： ????????????????rr),()(),()()()(?????????????lmnllmnln l mn l mYrRYrRrr??lmlmlmlmlimmllmmlmddlPePNY)1( c o sc o s)c o s1(!21)( c o s)( c o s)1(),(22/2 ?????????????? ?lmlmlmlml ddlP )1()1(!21)( 22/2 ????? ????或 根據(jù)球諧函數(shù)形式： Y?m 變換由 exp[im?]和 P? m(cos?) 兩部分組成。 lmlmlmlml ddlP )1()1(!21)( 22/2 ????? ????所以 P? m(cos?) 具有 ( ? + m ) 宇稱，即： P? m(cos?) → P? m(cos（ π ?） ) = P? m(cos?) = (1)? + m P? m(cos?) 綜合以上兩點(diǎn)討論 ),()1(),()1()1(),(),(??????????lmllmmlmlmlmYYYY?????????于是總波函數(shù)在空間反射下作如下變換： )()1()()(rrrn l mln l mn l m ??????????應(yīng)該指出的是， cosθ 是 θ 的偶函數(shù)，但是 cos(π θ) = cos(θ) 卻具有奇宇稱，這再次說(shuō)明，函數(shù)的奇偶性與波函數(shù)的奇偶宇稱是完全不同的兩個(gè)概念，千萬(wàn)不要混淆起來(lái)。 令： Δ? = ? ? ’ ? ? ’ = ? Δ? 則 n’ = ? ’ + nr +1 = ? Δ? + nr +1 = n Δ? 作 業(yè) ? 周世勛 《 量子力學(xué)教程 》 ? ? 、 （一）二體問(wèn)題的處理 （二）氫原子能級(jí)和波函數(shù) （三）類氫離子 （四）原子中的電流和磁矩 返回 167。 （ 2） 數(shù)學(xué)處理 Schrodinger 方程： ),(),(? 2121 rrErrH ???? ???二體運(yùn)動(dòng)可化為： VH ?????? 2222211222?????其中?1 x + r1 r2 r R ?2 O y z 將二體問(wèn)題化為一體問(wèn)題 令 ??????????相對(duì)坐標(biāo)質(zhì)心坐標(biāo)21212211rrrrrR?????????????????????????????rRrR21222111??????分量式 111 xxxxXXx ?????????????????????????????????????????212121212211212211212211zzzyyyxxxzzZyyYxxX????????????),(),( 21 rRrr ???? ???xX ??????? 211???系統(tǒng) Hamilton 量則改寫(xiě)為： VrRrRH ????????? ????????????? ??????2222?2122221112??????????)(2)(2 222212rVrR ??????? ??? ??其中 ? = ?1?2 / (?1+?2) 是折合質(zhì)量。 返回 ),()()(,3,2,12 224????lmnln lmnYrRrnneE???????????????????????????222234111142][1nmCRnmeEEEEhHmnmn??????n = 1 的態(tài)是基態(tài)， E1 = (? e4 / 2 ?2 )， 當(dāng) n → ∞ 時(shí)， E∞ = 0，則電離能為： ε = E∞ E1 = E1 = μ e4 / 2 ?2 = eV. 氫原子相對(duì)運(yùn)動(dòng)定態(tài)Schrodinger方程 )()()()(222 rErrVrr???? ???? ????2222)(zyxrrerV????? Z = 1, ? 是折合質(zhì)量即可。 （二）氫原子能級(jí)和波函數(shù) Hα 6563 H H H 4861 4341 4102 巴爾末線系的前 4條譜線 波長(zhǎng)埃 ? ?? ?raaraaaraaarerRerrRneRn021000210002/30312/3212112/32120/210)()2()(21?????????將上節(jié)給出的波函數(shù)取 Z=1, μ 用電子 折合質(zhì)量，就得到氫原子的波函數(shù)： ? ?? ?? ?raaraaaraaaaaaerrRrerrRerrrRn0310003100003100021158112/32311381132722/323121274342/33130)()(][)(])(2[)(3??????????（ 2） 波函數(shù)和電子在氫原子中的幾率分布 ?????????dd r drrdrWn lmn lms i n|),(|),(22?2. 徑向幾率分布 例如：對(duì)于基態(tài) 030/224221010 )()( ara errrRrW???0/2040/22030100)(8)22(4)(00areraareraradrrdWarar??????????????? ? d r drYrRddrrW lmnln l m s i n|),()(|)( 2220 0? ??drrrR nl 22 )(??????? ? dYddrrrR lmnl s i n|),(|)( 220 022 ? ??對(duì)空間立體角積 分后得到在半徑 r ? r+dr 球殼內(nèi)找到電子 的幾率 求最可幾半徑極值 Rn l (r) 的節(jié)點(diǎn)數(shù) n r = n – ? – 1 [1， 0] [2， 0] [3， 0] Wn l (r) ~ r 的函數(shù)關(guān)系 S波 Wn l (r) ~ r 的函數(shù)關(guān)系 p波 Rn l (r) 的節(jié)點(diǎn)數(shù) n r = n – ? – 1 [2， 1] [3， 1] 3. 幾率密度隨角度變化 ????????? dddrrrdrW n l mn l m s i n|),(|),( 22?對(duì) r ( 0?∞) 積分 drrrRdYdW nllmlm 202 )(||),(|),( ? ???? ????)1(|),(| 2 ?? dY lm ???? dPN mllm 22 |)( c o s| ?電子在 (θ ,?) 附近立體角 d? = sin? d? d? 內(nèi)的幾率 右圖示出了各種 ?,m態(tài)下， W?m(?) 關(guān)于 ? 的函數(shù)關(guān)系，由于它與 ?角無(wú)關(guān)，所以圖形都是繞 z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的立體圖形。 1(θ) = (3/8π)sin 2 ? 。 例 3. ? = 1, m = 0 時(shí)， W1,0(?) = {3/4π} cos