第六章連續(xù)型隨機變數(shù)及其常用的機率分配(參考版)
2025-08-04 13:21本頁面
【正文】 若 C u m u l a t i v e 輸入 F A L S E 時，所得到的輸出值為 機率密度函數(shù)。 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學 徐世輝著 常態(tài)分配 (續(xù) ) ( b ) 出現(xiàn)正面不少於 30 次的機率為 P ( Y ≧ 3 0 ) ，若以二項求算： ????40304040)21()30(iiCYP 上式非常的難以求算，但若改以常態(tài)分配來估算， )1 6 , 20(~ 2NY )()30( ??? YPYP（別忘了連續(xù)性修正） )(1)()20(???????????ΦZPYP 由上一例可知，有時二項分配難以求算時，若改以常態(tài)分配來估算，通常會得到一令人滿意的答案。 常態(tài)分配 (續(xù) ) )21()21()20( 20204020 ??? CYP教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學 徐世輝著 常態(tài)分配 (續(xù) ) 此例中二項分配之n= 4 0 ，意味著我們可以常態(tài)分配來估算它，根據(jù)定理 6 . 9 ，可將 Y 視為一常態(tài)隨機變數(shù)，其 ???? np?，1 6 )1( ???? pnp?，). , (N~Y 2162320 但在常態(tài)分配下， P ( Y ＝ 2 0 ) 是無意義的。 常態(tài)分配 (續(xù) ) 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學 徐世輝著 解： (a) 依題意所示， Y為二項隨機變數(shù)， Y～ b (40。 試求： (a) 出現(xiàn)正面恰好為 20次的機率。如此不免有些誤差。 如此，我們即可以 之常態(tài)分配來估計之。 之前是以離散型隨機變數(shù)來估計離散型隨機變數(shù)，而此處則是以連 續(xù)型隨機變數(shù)來逼近離散型隨機變數(shù)。 並且當二項分配 ，且 np≦ 7 時，此時可用卜瓦松分 配 P（ λ＝ np） 來估計二項分配。 ?定義 連續(xù)型隨機變數(shù) Y， 若其機率密度函數(shù)為 則 Y的機率分配稱為標準常態(tài)分配 (Standard Normal Distribution) 常態(tài)分配 (續(xù) ) 2?教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學 徐世輝著 換句話說，若欲求一常態(tài)分配機率時，即可透過定理 換函數(shù)，再透過標準常態(tài)分配表，經(jīng)由附表三即可求得。 ? ? 常態(tài)分配 (續(xù) ) 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學 徐世輝著 而所謂的標準常態(tài)分配 (Standard Normal Distribution)即指的是期望值 = 0。且不同的 及 2即形成不同 的常態(tài)分配，若將所有不同的常態(tài)分配都製成各自的機率表， 是不太可能的事情。我們可由圖 為鐘型，且由定義 。 ?? 常態(tài)分配 (續(xù) ) 2,??教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學 徐世輝著 3. 常態(tài)隨機變數(shù) Y 落在以?為中心，左右一個標準差 ? 的距離 的機率為 P (? ? ＜ Y ＜?+ ? ) = 0 . 6 8 3 落在以?為中心，左右兩個標準差 ? 的距離的機率為 P (? 2 ? ＜ Y ＜?+2 ? ) = 0 . 9 5 4 4. 常態(tài)分配的兩參數(shù)為其期望值?及變異數(shù) ?2，換句話說， 不同的?( 中心對稱點 ) 及 ?2( 離散程度 ) 形成了不同的常態(tài)分配。 由於其對稱的性質(zhì)，故有下列的特性： 如： (1) P (Y＜ )＝ P (Y ＞ )＝ (2) 對常數(shù)與， P (Y＜ a)＝ 1－ P (Y a )＝ P (Y＞ a) P (a＜ Y＜ b)＝ P (Y＜ b)－ P (Ya ) 以上兩點讀者不必強記，只需由常態(tài)分配對稱性質(zhì)即可輕易理解。 常態(tài)分配 定義 6 . 5 . 1 連續(xù)隨機變數(shù) Y ，若其機率密度函數(shù)為 ?)( yf e y 22)(2121?????? ， ?????????? y ， ， 02 ?? 則 Y 的機率分配稱為常態(tài)分配 ( n o r m a l d i s t r i b u t i o n ) 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學 徐世輝著 定理 若 Y為一常態(tài)隨機變數(shù)， Y～ N ( )， 則 期望值為 2,??2)( , ][ ?? ?? YVYE 變異數(shù)為機率= 0 . 6 8 3機率= 0 . 9 5 4機率= 0 . 9 9 7? ?? ??? ? ?? 2? ?? 3??? 2??? 3?y)( yf圖6 .5),(~2?? 常態(tài)分配 (續(xù) ) 教科書 : 應(yīng)用統(tǒng)計學 徐世輝著 圖 Y～ N ( )之機率密度函數(shù)圖。 0 )()|( ??????? babYPaYbaYP 指數(shù)分配 (續(xù) ) aYPbaYPaYPaYbaYPaYbaYP)()()() ()|(????????????? 而 eeeeeeaaayybabaybaydyaYPdybaYP?????????? ???????????? ????????????||)()()( 則 )()()|()(bYPaYPb)aP ( YaYbaYP eee baba?????????????????? 教科書
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