第三章多元正態(tài)分布(參考版)
2025-08-04 12:56本頁面
【正文】 51 1niii??? ?W x x? ?221niiW x n??? ?威沙特分布 的 性質 ? (1)設 Wi~Wp(ni, Σ)， i=1,2,?,k，且相互獨立，則 W1+W2+?+Wk~Wp(n1+n2+?+nk, Σ) ? (2)設 W~Wp(n, Σ)， C為 q p常數(shù)矩陣，則 CWC′~Wq(n, CΣC′) ? 設 x1,x2,?,xn是取自 Np(μ, Σ)， Σ0的一個樣本， np，則可以證明 ， 和 S相互獨立，且有 (n?1)S~Wp(n?1, Σ) 52 x。 50 ? ?12v e cq?????????????xxXx? 設隨機向量 x1,x2,?,xn獨立同分布于 Np(0, Σ)， Σ0， n≥p，則 p階 矩陣 的 分布稱為自由度為 n的（ p階） 威沙特 （Wishart） 分布 ，記作 Wp(n, Σ)。 當 X′=X時 ，因 xij=xji，故只需取其下三角部分組成一個縮減了的長向量，記作 vech(X)，即 vech(X)= (x11,…, xp1,x22,…, xp2,…, xp?1,p?1,xp,p?1,xpp)′ ? X的分布是指 vec(X)或（當 X′=X時） vech(X)的 分布 。 46 表 16個嬰兒的出生體重、年齡及血壓的數(shù)據(jù) 編號 出生體重（ x1） 出生天數(shù) （ x2） 舒張壓（ x3） 1 135 3 89 2 120 4 90 3 100 3 83 4 105 2 77 5 130 4 92 6 125 5 98 7 125 2 82 8 105 3 85 9 120 5 96 10 90 4 95 11 120 2 80 12 95 3 79 13 120 3 86 14 150 4 97 15 160 3 92 16 125 3 88 在 控制出生天數(shù)后，舒張壓與出生體重的樣本偏相關系數(shù) 為 在 控制出生體重后，舒張壓與出生天數(shù)的樣本偏相關系數(shù)為 47 1 06 8 41 1? 06 8 1 70 8 41 1 70 8 1???????R1 3 1 2 3 21 3 2 2 2 2 21 2 3 2 41 1 06 8 70 8 12 11 1 1 06 8 1 70 8r r rrrr? ??? ? ?? ? ? ?23 21 3123 1 2 2 2 221 31 70 8 06 8 41 1 23 11 1 1 06 8 1 41 1r r rrrr? ??? ? ?? ? ? ?167。 稱 rij?k+1,?,p為樣本偏相關系數(shù) 。 ? 此外， ρ12與 ρ12?3之間孰大孰小也沒有必然的結論。設 x1,x2,x3是三個隨機變量，則有 ? (1)ρ12=0并不意味著 ρ12?3=0，反之亦然。 ? 對于多元正態(tài)變量 x，由于 Σ11?2也 是條件協(xié)方差矩陣，故此時偏相關系數(shù)與條件相關系數(shù)是同一個值，從而 ρij?k+1,?,p同時也度量了在 xk+1,?,xp值給定的條件下 xi和 xj間相關關系的強弱。 1 1 1 1 2 1 1 1 22 2 1 2 2 2 1 2 2,k k kp k p k p kk p k k p k? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???x Σ Σ SSx Σ Sx Σ Σ SS11 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1???Σ Σ Σ Σ Σ? ?1 1 2 1 , ,ij k p? ??Σ 1, ,ij k p? ?? ?21 ,kpxx? ??x42 ? 給定 x2時 xi 和 xj的 偏相關系數(shù) （ partial correlation coefficient） 定義為 其中 。 41 ? 將 x, Σ(0),S剖分如下： 稱 為給定 x2時 x1的 偏協(xié)方差矩陣 。 ? x3分別與 x1和 x2的強正相關性導致了 x1和 x2的 較 強 正相關性 。 ? 順便指出，相關系數(shù)有時亦稱為簡單相關系數(shù)或 皮爾遜 （ Pearson） 相關系數(shù) 或 零階偏相關系數(shù) 。 39 ? ??, yr y y r? x22yRr? x3 1 2 45 6 7? 0 . 0 7 2 2 . 6 8 10 . 0 0 1 0 . 3 7 3 0 . 3 0 5x x x xx x x??? ? ?=23 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 7 ??3 1,2,4,5,6,7r 3?x?y三、偏相關系數(shù) ? 兩個變量之間的相關性，除了受這兩個變量彼此間的影響外，常常還受其他一系列變量的影響。 ? 被預測變量 y可作如下分解 ： =最優(yōu) 線性預測 + 預測誤差 37 ?y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?2211111 1 112?2C o v ,2C o v ,1y xy xx x xy xxxy xx xy xxyy xy xx xx xx xy xx xyyy xy xx xy yy yE y y E y V yV y V yy??? ? ?????? ? ??????? ? ? ? ? ? ?????? ? ??? ? ??? ? ? ?xσ Σ x μ σ Σ xσ Σ x σ Σ xσ Σ Σ Σ σ x Σ σσ Σ σ?y? ?? ? ? ?? ?11? ?y xy xx x y xy xx xy y y yy?? ??? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?σ Σ x μ σ Σ x μ（受 x線性影響部分） （不受 x線性影響部分） ? 預測誤差部分可看作是從 y中扣除 x的線性影響后剩余的部分，它不受 x的線性影響， 因為 稱之為 總體復判定系數(shù) ，它表示 y的方差可由 x1,x2,? ,xp聯(lián)合解釋的比例，該值越大，表明預測效果越好。 36 ? ?1? y x y x x xy ? ??? ? ?σ Σ x μ? ? ? ? ? ? 22? m i ngE y y E y g? ? ?????x x?y? ? ? ?1?, xy xx yy y y? ? ????? xσ Σ x? 最優(yōu) 線性預測 的 均方誤差 ? 的 精度 與 σyy和 ρy ?
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