第七章第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(參考版)
2025-07-26 09:45本頁面
【正文】 ， ∠ AED＝ ∠ BAF， 所以 ∠ BAF＋ ∠ ABG＝ 90176。蘇北三市聯(lián)考 )如圖， 在正方體 ABCD－ A1B1C1D1 中， M、 N、 G分別是 A1A， D1C， AD的中點(diǎn) .求證： (1)MN∥ 平面 ABCD； (2)MN⊥ 平面 B1BG. 證明： (1)取 CD的中點(diǎn)記為 E， 連 NE， AE. 由 N， E分別為 CD1與 CD的中點(diǎn)可得 NE∥ D1D且 NE＝ D1D， 又 AM∥ D1D且 AM＝ D1D 所以 AM∥ EN且 AM＝ EN，即四邊形 AMNE為平行四邊形， 所以 MN∥ AE， 又 AE?面 ABCD，所以 MN∥ 面 ABCD. (2)由 AG＝ DE， ∠ BAG＝ ∠ ADE＝ 90176。 答案： 90176。tan∠ NPO＝ ＜ OA， 所以點(diǎn) N在線段 OA上 .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (9分 ) 因?yàn)?F是 PB的中點(diǎn)，所以 M是 BN的中點(diǎn) .┄┄ (10分 ) 因此點(diǎn) M在 △ AOB內(nèi)，點(diǎn) M到 OA， OB的距離分別為 OB＝ 4， ON＝ .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (12分 ) [自主體驗(yàn) ] 如圖所示，已知長方體 ABCD－ A1B1C1D1的底面 ABCD為正方形， E為 線段 AD1的中點(diǎn)， F為線段 BD1的中點(diǎn) . (1)求證： EF∥ 平面 ABCD； (2)設(shè) M為線段 C1C的中點(diǎn)，當(dāng) 的比值為多少時(shí)，DF⊥ 平面 D1MB，并說明理由 解： (1)證明： ∵ E、 F分別是 AD1和 BD1的中點(diǎn)， ∴ EF∥ AB，又 EF?平面 ABCD， AB?平面 ABCD， ∴ EF∥ 平面 ABCD. (2)設(shè) ＝ λ(λ＞ 0)， AD＝ a， 則 DD1＝ λa，連結(jié) MF. 若 DF⊥ 平面 D1MB， 則有 DF⊥ D1B， DF⊥ FM. 在 Rt△ BDD1中， DF＝ ＝ ＝ . 又 F、 M分別是 BD1， CC1的中點(diǎn)，易證 FM＝ a， 又 DM＝ ＝ a， ∴ 在 Rt△ DFM中， DF2＋ FM2＝ DM2， 即 ， 解得 λ2＝ 2， ∴ λ＝ ， 即當(dāng) ＝ 時(shí)， DF⊥ 平面 D1MB. 1.(2022安陽模擬 )三棱錐 P－ ABC中， PC、 AC、 BC兩兩垂直， BC＝ PC＝ 1， AC＝ 2， E、 F、 G分 別是 AB、 AC、 AP的中點(diǎn) . (1)證明：平面 GFE∥ 平面 PCB； (2)求二面角 B－ AP－ C的正切值 . [思路點(diǎn)撥 ] [課堂筆記 ] (1)證明：因?yàn)?E、 F、 G分別是 AB、 AC、AP的中點(diǎn)， 所以 EF∥ BC， GF∥ CP. 因?yàn)?EF， GF?平面 PCB. 所以 EF∥ 平面 PCB， GF∥ 平面 PCB. 又 EF∩GF＝ F， 所以平面 GFE∥ 平面 PCB. (2)∵ BC⊥ PC， BC⊥ CA，且 PC∩AC＝ C， ∴ BC⊥ 平面 PAC. 過點(diǎn) C作 CH⊥ PA于 H點(diǎn)， 連結(jié) HB，則易證 HB⊥ PA， ∴∠ BHC即為二面角 B－ AP－ C的平面角 . 在 Rt△ ACP中， AP＝ ＝ ， HC＝ ＝ (等積 ). ∴ tan∠ BH
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