1674泰勒公式與極值問題(參考版)
2025-07-20 19:13本頁面
【正文】 最小值為所以所求得的最大值為上必有最值，在有界閉集由于連續(xù)函數(shù)12}1/),{(2 2222???yxyxyx例 8 在第一卦限內(nèi)作橢球面 1222222???czbyax的切平面，使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo) . 解 設(shè) ),( 000 zyxP 為橢球面上一點(diǎn) , 令 1),( 222222???? czbyaxzyxF , 則 2 02|axFPx ?? ， 202|byFPy ?? ， 202|czFPz ?? 過 ),( 000 zyxP 的切平面方程為 ?? )( 020 xxax ?? )( 020 yyby 0)( 020 ?? zzcz , 化簡為 12 02 02 0 ?????? c zzb yya xx , 該切平面在三個(gè)軸上的截距各為 02xax ? ，02yby ? ，02zcz ? ,所圍四面體的體積 000222661zyxcbaxyzV ??, 在條件 1220220220 ???czbyax 下求 V 的最小值 , 令 ,lnlnln 000 zyxu ??? ),( 000 zyxG ???? 000 lnlnln zyx )1(220220220 ???czbyax? , 由 ,010,0,0220220220000???????????????cybyaxGGGzyx當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為 (3a，3b，3c) 時(shí) , 四面體的體積最小 a b cV 2 3m i n ? . ???????????????????????01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx??? 可得 即 30ax ?30by ? ，30cz ?多元函數(shù)的極值 拉格朗日乘數(shù)法 （取得極值的必要條件、充分條件） 多元函數(shù)的最值 小結(jié) ??????條件極值無條件極值 高階偏導(dǎo)數(shù) ??? 純偏導(dǎo) 混合偏導(dǎo) （相等的條件） 中值定理和泰勒公式 。 故，最大值 解 ??????????????0102402222yxyyFxxFyx??則 22227 ( , ) 21f x y x yxy????例 求 函 數(shù) 在 方 程約 束 條 件 下 的 最 大 與 最 小 值 。 故，最大值 最大值一定存在， 例 6 將正數(shù) 12 分成三個(gè)正數(shù) zyx , , 之和 使得 zyxu 23? 為最大 . 解 令 )12(),( 23 ????? zyxzyxzyxF ? , ?????????????????????? 12 0 020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx???則 ?????????????????)4( ,12)3( ,)2( ,2)1( ,323
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