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泰勒公式的若干問題研究_畢業(yè)論文(參考版)

2024-09-01 09:49本頁面
  

【正文】 。就用這話作為這篇論文的一個(gè)結(jié)尾,也是一段生活的結(jié)束。在未來的日子里,我會(huì)更加努力的學(xué)習(xí)和工作,不辜負(fù)父母對我的殷殷期望! “長風(fēng)破浪會(huì)有時(shí),直掛云帆濟(jì)滄海。感恩之情難以用言語量度,謹(jǐn)以最樸實(shí)的話語致以最崇高的敬意。謝謝 ! 四年大學(xué) ,所收獲的不僅僅是愈加豐厚的知識(shí),更重要的是在閱讀、實(shí)踐中所培養(yǎng)的思維方式、表達(dá)能力和廣闊視野。 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 23 四、參考文獻(xiàn) [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析 [M].高等教育出版社 .2020 [2]劉玉璉 ,傅沛仁 .數(shù)學(xué)分析講義 (下冊 )[M].北京 :高等教育出版社, 1992. 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[J], 65(1995),147153 [17] Dale J . E. Rigdon. Calculus[M] .Beijing :China Machine Press ,2020 :467476 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 24 致 謝 在長達(dá)三個(gè)多月的論文寫作結(jié)束之際,在大學(xué)最后的畢業(yè)之際,首先,我要感謝在四年里面那些曾經(jīng)幫助過我的老師們,感謝這樣一支愿意從事基礎(chǔ)科學(xué)研究的數(shù)學(xué)系教師隊(duì) 伍;還要感謝在數(shù)學(xué)領(lǐng)域辛勤 踏實(shí) 工作的人們,以及被我選中作為我畢業(yè)論文參考文獻(xiàn)的文章作者和各位數(shù)學(xué)前輩,你們是我的榜樣和楷模。泰勒公式的應(yīng)用非常廣泛,不僅局限于本文介紹的求行列式,函數(shù)斂散性,函數(shù)凹凸性。 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 22 結(jié) 論 隨著數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展,許多數(shù)學(xué)家們研究 出了許多的定理與 公式 ,以便我們在解決數(shù)學(xué)疑難問題時(shí)有 多重的選擇。 泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)除了上面的應(yīng)用以外在概率的計(jì)算方面也有應(yīng)用,這里就不再 贅 述。 由麥克勞林公式及其各項(xiàng)系數(shù)之間所具有的聯(lián)系可知 ( 3 4 ) ( 0) ( 1 ) ( 3 4) !kkfk? ? ? ?, 0,1,2,k? 。 解:利用泰勒公式對其 1(1 )x?? 展開,可求得 31(1 )x??? 的麥克勞林公式 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 21 3 3 2 3 3 231 1 ( ) ( 1 ) ( ) ( )1+ n n nx x x xx ? ?? ? ? ? ? ? ?, 0x? 。 我們接下來利用泰勒公式求解。 解:設(shè) 20 1 2 nny a a x a x a x? ? ? ? ? ? 因?yàn)?0 0xy ? ? ,所以 0 0a? , 所以 212 nny a x a x a x? ? ? ? ?, 1112 nny a a x a x ?? ? ? ? ? ? 將 y , y? 代入原方程得 1 2 21 2 1 22 ( )nna a x n a x x a x a x a x?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 2 2 3 2 41 1 2 1 3 22 (2 )x a x a a x a a a x? ? ? ?+ 51 4 2 3(2 2 )a a a x?? 比較同次冪系數(shù),得 1 0a? , 221a? , 2313aa? , 4 1 242a aa? , 25 1 3 252a a a a??, 6 1 4 2 36 2 2a a a a a?? ? 1 0a? , 2 12a? , 3 0a? , 4 0a? , 5 1 1 15 4 20a ? ? ? , 6 0a? , 從而, 25112 2 0y x x? ? ?。 泰勒級(jí)數(shù)與泰勒公式的應(yīng)用 對于一階微分方程, = ( , )dy f x ydx 若 ( , )f xy 為關(guān)于 x , y 的多 項(xiàng)式,則可設(shè)其通解為 20 1 2 nny a a x a x a x? ? ? ? ?將 y 及 y? 代入 ,比較同次冪的系數(shù),就可得出待定系數(shù) 0a , 1a , , na , ,從而得 到通解 20 1 2 nny a a x a x a x? ? ? ? ?。 當(dāng) ()fx在含有 0x 的某個(gè)鄰域 (, )ab 內(nèi)具有任意階的導(dǎo)數(shù),可將 ()fx展成 0()xx?冪級(jí)數(shù),其中 0()nxx? 的乘冪的系數(shù)分別為 0()fx ,01 ()1!fx?,01 ()2!fx??, ,01 ()! nfxn,稱為冪級(jí)數(shù)系數(shù) .可見 ()fx在 0x 處的泰勒級(jí)數(shù)也是 ()fx展成 0()xx? 的冪級(jí)數(shù) 。 泰勒公式 中含有有限多項(xiàng)式,泰勒級(jí)數(shù)中含有無限多項(xiàng)式,泰勒公式不是泰勒 級(jí)數(shù),泰勒級(jí)數(shù)也不是泰勒多項(xiàng)式 。 如果在定義 中抹去余項(xiàng) ()nRx,那么在 0x 附近 f 可用定義 式右邊的多項(xiàng)式來近似代替,如果函數(shù) f 在 0xx? 處存在任意階 的導(dǎo)數(shù),這時(shí)稱形式為 2020 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ! !n nf x f xf x f x x x x x x xn???? ? ? ? ? ? ?? 。接下來我們具體探 討泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)的區(qū)別 與 聯(lián)系 以及泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用問題 。 以上我們討論了帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式“中間點(diǎn)”的漸近問 題,得到了 當(dāng)區(qū)間長度趨于零與無窮時(shí)的 ? 滿足的條件,下面我們討論泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)的關(guān)系。 () 由 ()與 ()式可取 1=??。 使 ()11( ) ( ) () 1 ()( ) ! ! !n nnnx p x Afx a n n n? ?? ?? ? ? ??。 其 中 B 為非零常數(shù), ? 為實(shí)數(shù), ? 1? . 證明 :因?yàn)?()=li m [ ( ) ] 0nx f x A A A?? ? ? ? ?, ()li m [ ( ) ] 0nx x f x A B?? ?? ? ? ?,故 0?? 。 若 0?? .則定理 1不再成立。 () 由泰勒中值定理得 ()+1 ( ) ( )!l im ( ) l imnnnxxf x anGxx ???? ? ? ? ??? ()1l im ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )! nnx a a afn x x a? ? ? ???? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?。 余下證明與 )i 類似,故當(dāng) x??? 時(shí), 有 ???? 。 () 若存在 ba? .使 b?? .則由于 ()()nfx在 [, ]ab 上連續(xù),所以必存在 0 [ , ]x ab? ,使( ) ( )0( ) ( )nnf x f ?? 從而 ( ) ( )0( ) l i m ( )nnxf x f ?? ??? ? ??.這是矛盾的,故當(dāng) x??? 時(shí),有??? 。 令 ()10()( ) ( ) ( )!kn kkfaF x f x x ak??? ? ??則 ()lim ( )nx x F x A???? ?, 由 引 理 ,()lim ( )ix Fx??? ? ??( 0,1, 2, , 1)in??。 證明 :首先證明當(dāng) +x??時(shí),有 ???? ,為此不妨設(shè) 0A? 。 由次定理,得以下定理。 基于以上引理我們得到 以下 中間點(diǎn)的漸近性 結(jié)論 。 2)的證明與 1)類似 , 省略 。 假定 ()lim ( ) ( 1 )kx x k n?? ?? ? ?? ? ?,則取 0M? ,存在 max{0, }kxa? ,當(dāng) kxx? 時(shí) .有, ()()k xM? ?? 于是當(dāng) kxx? 時(shí),有 ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkxxk k k k kk k k kx x t d t x M d t x M x x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???。 其中 A 為非零常數(shù), ? 為實(shí)數(shù), 1?? , 0,1, 2, , 1in??。 當(dāng) 區(qū)間長度趨于無窮時(shí)的“中間點(diǎn)”的漸 近 性 為了研究 區(qū)間長度趨于 無窮時(shí)中間點(diǎn)的漸近性,我們首先給出兩個(gè) 引理: 引理 [1] 設(shè) lim ( )x fx??? ???,0lim ( )x g x A? ?,則 1)當(dāng) A 0? 時(shí), lim ( ) ( )x f x g x??? ? ??; 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 15 2)當(dāng) A 0? 時(shí), lim ( ) ( )x f x g x??? ? ??。 通過比較得01lim 1 1nmmm n???? ? ? ?,即01lim 1 1nmam n????? ? ? ?。 則由拉格朗日公式得 ( ) ( 1 )10 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )l i m ( ) l i m l i m l i m( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ! ( 1 ) !nnnnm m m hf a m f a m f a m f ag a m n m n n m n m n??? ? ? ?? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?。有以下結(jié)果: 定理 [5] 設(shè)函數(shù) ()fx在閉區(qū)間 ? ?, ( 0)a a m m??有直到 1n? 階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且( ) ( ) ( ) 0nf a f a f a? ??? ? ? ?, ( 1)( ) 0nfa? ? ,則由 Taylor 公式所確定的“中間點(diǎn)”+ah??? 滿足等式011lim 1 1nm m n????? ? ? ?。 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 14 4 泰勒公式“中間點(diǎn)”的漸近 性 我們 知道 ,一般 的《數(shù)學(xué)分析》教材 中 對于帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的“中間點(diǎn)”, 只 是 肯定了 “中間點(diǎn)” 的 存在性 ,但 沒有研究“中間點(diǎn)” ? 的性質(zhì)
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