洛必達法則泰勒公式(參考版)
2025-07-27 23:08本頁面
【正文】 由于兩個多項式之比的極限比較容易計算，所以人們經(jīng)常利用泰勒公式把兩個復雜函數(shù)之比的極限問題轉(zhuǎn)化為多項式之比的極限問題．文檔大全。利用帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式，求極限．分析；．如果取，則得近似公式.如果取，則無理數(shù)的近似式為，其誤差．當時，可算出，其誤差不超過．例2 (10)例1(9)誤差估計式相應地變成.. (６)的表達式(5)稱為佩亞諾(Peano)型余項，公式(6)稱為按的冪展開的帶有佩亞諾型余項的階泰勒公式．在泰勒公式(3)中，如果取，則在0與之間．因此可令(5)上述結(jié)果表明，多項式的次數(shù)越大，越小，用去近似表達的誤差就越小，是比高階的無窮小，并且誤差是可估計的．泰勒公式不僅在近似計算中有著廣泛的應用，而且它在級數(shù)理論和數(shù)值計算中也起著重要的作用，同學們一定要深刻地理解它．到此我們所提出的問題就解決了．多項式(2)稱為函數(shù)按的冪展開的次泰勒多項式，公式(3)稱為按的冪展開的帶有拉格朗日型余項的階泰勒公式，而的表達式(4)稱為拉格朗日型余項．當時，泰勒公式變成拉格朗日中值公式(介于與之間).同樣，函數(shù)與在以及為端點的區(qū)間上也滿足柯西中值定理的條件，故有(介于與之間).繼續(xù)對函數(shù)與在以及為端點的區(qū)間上應用柯西中值定理，如此做下去，經(jīng)過次應用柯西中值定理后，得由假設(shè)知，在內(nèi)具有直到階的導數(shù)，且.函數(shù)與在以及為端點的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件，故有(4)這里是在與之間的某個值．由(2)式和(3)式知，現(xiàn)在只要證明(介于與之間)即可．證(3)其中，…,．將所求得的多項式的系數(shù)，,…,… ，．這樣我們就得到了如下個等式這是一個型未定式，我們有．由于上式右端極限不存在，所以未定式的極限不能用洛必達法則去求，但不能據(jù)此斷定極限不存在．這時我們需要另辟新徑，重新考慮這個極限．．由此可見極限是存在的．二、泰勒公式把一個復雜的問題轉(zhuǎn)化為一個簡單的問題去研究是我們研究復雜問題時經(jīng)常采用的方法，那么對于一個復雜的函數(shù)，為了便于研究，我們也希望用一些簡單的函數(shù)來近似
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